Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário vec{u} z=\arctan (y / x)\left(x_{0}, y_{0}\right)=(-2,1), na direção de ( -2,1 ) para ( -6,2 )
Passo 1
O enunciado dá o campo escalar
z=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
e pede três coisas:
(a) o gradiente \nabla z em função de x e y;
(b) o valor do gradiente no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(-2,1), ou seja \nabla z(-2,1);
(c) a derivada direcional D_{u}z em (-2,1) na direção do vetor que vai de (-2,1) para (-6,2) — ou seja, na direção do vetor (-6,-2)\!-\!(-2,1)=(-4,1). A direção pedida será usada como vetor direção para construir o vetor unitário \vec{u}.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (passo-a-passo curto e prático).
O gradiente de um campo escalar z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right).
Cada componente é uma derivada parcial: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando x muda mantendo y fixo; \dfrac{\partial z}{\partial y} é análoga com y variando e x fixo.
Para z=\arctan(t) com t=\dfrac{y}{x} usaremos a regra da cadeia: a derivada de \arctan(t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Depois multiplicamos por as derivadas de t em relação a x e y.
Passo 3
Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} usando a regra da cadeia.
Defina t=\dfrac{y}{x}. Então z=\arctan(t).
Derivada de t em relação a x (com y constante): \frac{\partial t}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}}.