Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário vec{u}
z=\arctan (y / x)\left(x_{0}, y_{0}\right)=(-2,1), na direção de ( -2,1 ) para ( -6,2 )

Passo 1

O enunciado dá o campo escalar
z=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)
e pede três coisas:
  • (a) o gradiente \nabla z em função de x e y;
  • (b) o valor do gradiente no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=(-2,1), ou seja \nabla z(-2,1);
  • (c) a derivada direcional D_{u}z em (-2,1) na direção do vetor que vai de (-2,1) para (-6,2) — ou seja, na direção do vetor (-6,-2)\!-\!(-2,1)=(-4,1). A direção pedida será usada como vetor direção para construir o vetor unitário \vec{u}.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (passo-a-passo curto e prático).
  • O gradiente de um campo escalar z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais: \nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right).
  • Cada componente é uma derivada parcial: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando x muda mantendo y fixo; \dfrac{\partial z}{\partial y} é análoga com y variando e x fixo.
  • Para z=\arctan(t) com t=\dfrac{y}{x} usaremos a regra da cadeia: a derivada de \arctan(t) em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}. Depois multiplicamos por as derivadas de t em relação a x e y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} usando a regra da cadeia.
  • Defina t=\dfrac{y}{x}. Então z=\arctan(t).
  • Derivada de t em relação a x (com y constante): \frac{\partial t}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}}.
  • Aplica a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+t^{2}}\cdot\frac{\partial t}{\partial x} =\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
  • Simplificar a expressão. Note que 1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}. Assim
\frac{\partial z}{\partial x} =\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\div\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}\right) =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} de maneira análoga.
  • Derivada de t=\dfrac{y}{x} em relação a y (com x constante): \frac{\partial t}{\partial y}=\frac{1}{x}.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+t^{2}}\cdot\frac{\partial t}{\partial y} =\frac{1}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
  • Usando novamente 1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{1}{x}\div\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}\right) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Escrever o gradiente geral juntando as componentes encontradas.
\nabla z(x,y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Esta é a resposta para o item (a).

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto \left(-2,1\right).
  • Calcule x^{2}+y^{2}=(-2)^{2}+1^{2}=4+1=5.
  • Substitua em cada componente:
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(-2,1)}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{1}{5}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(-2,1)}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{2}{5}.
Portanto \nabla z(-2,1)=\left(-\dfrac{1}{5},-\dfrac{2}{5}\right). Isso responde o item (b).

Passo 7

Calcular a direção unitária \vec{u} pedida (vetor de (-2,1) para (-6,2)).
  • Vetor direção \vec{v}=(-6,2)-(-2,1)=(-4,1).
  • Norma de \vec{v}: \|\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
  • Vetor unitário \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(-\dfrac{4}{\sqrt{17}},\;\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right).

Passo 8

Calcular a derivada direcional em (-2,1) na direção \vec{u}.
  • Fórmula: D_{u}z(-2,1)=\nabla z(-2,1)\cdot \vec{u}.
  • Substituindo os vetores:
D_{u}z(-2,1) =\left(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\cdot\left(-\frac{4}{\sqrt{17}},\frac{1}{\sqrt{17}}\right).
  • Faça o produto escalar passo a passo:
D_{u}z(-2,1) =\left(-\frac{1}{5}\right)\left(-\frac{4}{\sqrt{17}}\right) +\left(-\frac{2}{5}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right) =\frac{4}{5\sqrt{17}}-\frac{2}{5\sqrt{17}} =\frac{2}{5\sqrt{17}}.
Isso responde o item (c). É um número positivo, o que significa que, naquela direção, a função z aumenta localmente nesse ponto.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla z(x,y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)\n
(b) \displaystyle \nabla z(-2,1)=\left(-\frac{1}{5},-\frac{2}{5}\right)\n
(c) \displaystyle D_{u}z(-2,1)=\frac{2}{5\sqrt{17}}

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