Nos problemas abaixo encontre a solução geral dos sistemas dados:
ld xd t=x+2 y d yd t=4 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
d xd t=x+2y, d yd t=4x+3y
O conteúdo é resolução de sistemas lineares usando matriz de coeficientes e o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Reescrevemos o sistema em forma matricial. Seja
então
Para resolver, procuramos os autovalores de que satisfazem .

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
detl(A-lambda Ir) =det1-lambda&24&3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)-8 =lambda^2-4lambda-5
Igualando a zero,
lambda^2-4lambda-5=0 Longrightarrow lambda=4pmraiz16+202=4pm62,
logo lambda1=5 e lambda2=-1.

Passo 4

Para cada autovalor achamos o autovetor resolvendo (A-lambda I)v=0.
Para lambda1=5:
1-5&24&3-5v =-4&24&-2v=0 ;Longrightarrow; -4v1+2v2=0 ;Longrightarrow; v2=2v1
Escolhemos v^(1)=(1,2)^T.
Para lambda2=-1:
1+1&24&3+1v =2&24&4v=0 ;Longrightarrow; 2v1+2v2=0 ;Longrightarrow; v1=-v2
Escolhemos v^(2)=(1,-1)^T.

Passo 5

A solução geral de dXdt=AX é combinação linear das soluções v^(i)e^lambdait. Assim
X(t) =C1e^5t12 +C2e^-t1-1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

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