Nos problemas abaixo obtenha a derivada segunda das funções dadas, simplificando ao máximo a derivada primeira.
b) y=23 x-raiz2 x+raiz2 x-16 raizx

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y=23x-raiz2x+raiz2x-16raizx
ou seja, queremos y'' e antes disso simplificar ao máximo y'. Vamos usar principalmente a regra de potência:
ddxl(x^nr)=n,x^n-1

Passo 2

Observe que os termos -raiz2x e +raiz2x se cancelam. Logo
y=23x-16raizx
Escrevendo em potências de x:
y=23x^-1-16x^-tfrac12

Passo 3

Aplicando a regra de potência para obter y':
y'=ddxl(tfrac23x^-1r)-ddxl(tfrac16x^-tfrac12r) =-tfrac23,x^-2-tfrac16l(-tfrac12r)x^-tfrac32
Simplificando o segundo coeficiente:
-tfrac16l(-tfrac12r)=+tfrac112,
portanto
y'=-tfrac23x^-2+tfrac112x^-tfrac32

Passo 4

Agora derivamos y' para obter y'':
y''=ddxl(-tfrac23x^-2r) +ddxl(tfrac112x^-tfrac32r)
Usando a regra de potência em cada termo:
ddxl(-tfrac23x^-2r) =-tfrac23l(-2r)x^-3 =tfrac43x^-3,
ddxl(tfrac112x^-tfrac32r) =tfrac112l(-tfrac32r)x^-tfrac52 =-tfrac18x^-tfrac52
Somando os dois resultados, temos
y''=tfrac43x^-3-tfrac18x^-tfrac52

Resposta

y'=-23x^-2+112x^-tfrac32, y''=43x^-3-18x^-tfrac52

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