Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
x d yd x+2 y=x^-3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x,dydx+2y = x^-3
É uma equação linear em y. Para resolver, vamos escrever na forma padrão, encontrar o fator integrante e integrar.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x (supondo xneq0), obtemos a forma padrão
dydx + 2x,y = x^-4

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x)=exp!l(integral 2x,dxr)=expl(2ln|x|r)=x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2, ficando
x^2dydx+2x,y = x^2cdot x^-4 = x^-2
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y, isto é,
ddxl(x^2yr)=x^-2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral x^-2,dx = -x^-1 + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
y = -x^-1+Cx^2 = -x^-3 + Cx^-2

Resposta

A solução geral é
y(x) = -x^-3 + C,x^-2,
com C constante arbitrária.

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