Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
d rd theta+r tan theta=sec theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
drdtheta + r tantheta = sectheta
Esse tipo de equação está na forma
drdtheta + P(theta),r = Q(theta),
com P(theta)=tantheta e Q(theta)=sectheta. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(theta) = expgl(integral P(theta),dthetagr) = expl(integral tantheta,dthetar)
Como integral tantheta,dtheta = -ln|costheta|, obtemos
mu(theta) = e^-ln|costheta| = 1|costheta| = sectheta
(consideramos costhetaneq0).

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(theta)=sectheta, temos
secthetadrdtheta + r,secthetatantheta = sec^2theta
O lado esquerdo é exatamente a derivada de rsectheta, pois
ddtheta(rsectheta) = secthetadrdtheta + r,ddtheta(sectheta) = secthetadrdtheta + r,secthetatantheta

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a theta:
ddtheta(rsectheta) = sec^2theta Longrightarrow rsectheta = integral sec^2theta,dtheta = tantheta + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando r, obtemos
r = costheta,( tantheta + C ) = sintheta + Ccostheta

Resposta

r(theta) = sintheta + Ccostheta

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