Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
d yd x=x^2 e^-4 x-4 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = x^2e^-4x - 4y
Aqui vamos usar o método da equação linear, ou seja, escrever na forma
dydx + P(x),y = Q(x)
e então aplicar o fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão, temos
dydx + 4y = x^2e^-4x,
onde P(x)=4 e Q(x)=x^2e^-4x. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 4,dx = e^4x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^4x, obtendo
e^4xdydx + 4e^4xy = x^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^4xy, logo
ddxl(e^4xyr) = x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^4xy = integral x^2,dx = x^33 + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
y = e^-4xl(x^33 + Cr)

Resposta

y(x) = x^33,e^-4x + C,e^-4x

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