Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
y \frac{d x}{d y}+2 x=5 y^{3}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y,d xd y + 2x = 5y^3,
que é uma equação linear de primeira ordem em x como função de y. Para resolver, vamos reescrevê-la no formato padrão
d xd y + P(y),x = Q(y)
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por y (supondo yneq0), obtemos a forma
d xd y + 2y,x = 5y^2
Aqui identificamos P(y)=tfrac2y e Q(y)=5y^2.

Passo 3

O fator integrante mu(y) é dado por
mu(y) = exp!l(integral P(y),dyr) = exp!l(integral 2y,dyr) = exp!l(2ln|y|r) = y^2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(y)=y^2:
y^2d xd y + 2y,x = 5y^4
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y^2x, então
dd yl(y^2xr) = 5y^4
Agora integramos em relação a y:
y^2x = integral 5y^4,dy = y^5 + C,
em que C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando x, chega-mos à solução geral
x(y) = y^5 + Cy^2 = y^3 + C,y^-2

Resposta

boxedx(y) = y^3 + C,y^-2,
em que C é constante arbitrária.

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