Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x}, y(1)=e-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
dydx-yx=x e^x, y(1)=e-1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
dydx+p(x),y=q(x),
identificando
p(x)=-1x, q(x)=x e^x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral -1x,dxr) =expl(-ln|x|r) =1x

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=1/x, obtemos
1xdydx-yx^2=e^x
O lado esquerdo é a derivada de yx, pois
ddxl(yxr) =1xdydx-yx^2
Logo integramos ambos os lados:
yx=integral e^x,dx = e^x + C
Portanto
y = x e^x + Cx

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=e-1:
y(1)=1cdot e^1 + Ccdot1 = e + C = e-1 Longrightarrow C=-1
Assim
y = x e^x - x

Resposta

boxedy(x)=x e^x - x

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