Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x}, y(1)=e-1
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x}, y(1)=e-1
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
identificando
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Logo integramos ambos os lados:
Portanto
Passo 5
Usamos a condição inicial
:
Assim