Nos problemas abaixo, resolva a equação.
(2 x y) d x+(y^2-3 x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2xy,dx + (y^2-3x^2),dy = 0
que é homogênea de grau 2 em x,y. Para equações homogêneas do tipo
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0,
com M e N homogêneos do mesmo grau, usamos a substituição
y = v x,
de modo que dydx fica uma função de v apenas.

Passo 2

Com y=vx temos
dydx = v + xdvdx,
enquanto da equação original isolamos
dydx = -2xyy^2-3x^2 = -2vv^2-3
Igualando as duas expressões de dydx,
v + xdvdx = -2vv^2-3

Passo 3

Reorganizando para separar variáveis:
xdvdx = -2vv^2-3 - v = -2v - v(v^2-3)v^2-3 = v(1-v^2)v^2-3
Logo
v^2-3v(1-v^2),dv = dxx

Passo 4

Fazemos frações parciais em
v^2-3v(1-v^2) = -v^2-3v(v^2-1) = -3v + 1v-1 + 1v+1
Integrando ambos os lados,
integrall(-tfrac3v+tfrac1v-1+tfrac1v+1r)dv = integraldxx
-3ln|v| + ln|v-1| + ln|v+1| = ln|x| + C

Passo 5

Reagrupando logaritmos e voltando a v=y/x:
lnl|(v-1)(v+1)v^3r| = ln|x| + C ;Longrightarrow; v^2-1v^3 = K,x
Como
v^2-1v^3 =tfracy^2x^2-1tfracy^3x^3 =x,(y^2-x^2)y^3,
dividindo ambos os lados por x obtemos
y^2-x^2y^3 = C,
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

y^2-x^2y^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

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