Nos problemas abaixo, resolva a equação.
(x^4-x+y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l(x^4-x+yr),dx - x,dy = 0
Queremos encontrar a solução geral y(x). Esse é um caso de EDO de primeira ordem que podemos transformar em forma linear.

Passo 2

Reescrevendo em termos de dydx, temos
(x^4-x+y),dx = x,dy Longrightarrow dydx = x^4-x+yx = x^3-1 + yx
Colocando no formato padrão
dydx - 1x,y = x^3-1,
identificamos p(x)=-tfrac1x e q(x)=x^3-1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -tfrac1x,dxr) = exp(-ln|x|) = 1|x|
Para xneq0 podemos tomar mu(x)=1/x.

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=1/x, obtemos
1x,dydx - 1x^2,y = x^2 - 1x,
que é exatamente
ddxl(yxr) = x^2 - 1x
Integramos em ambos os lados:
yx = integrall(x^2 - x^-1r),dx = x^33 - lnlvert xrvert + C,
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y = xl(x^33 - lnlvert xrvert + Cr) = x^43 - xlnlvert xrvert + Cx

Resposta

y(x) = x^43 ;-; xlnlvert xrvert ;+; C,x,
onde C é constante de integração.

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