Nos problemas abaixo, resolva a equação.
(3 x^2+y) d x+(x^2 y-x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(3x^2+y),dx + (x^2y - x),dy = 0
e pede para encontrar a solução geral. O conteúdo envolvido é: equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = 3x^2 + y, N(x,y) = x^2y - x
e conferimos a exatidão calculando
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 2xy - 1
Como 1 neq 2xy - 1, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. Para isso usamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN = 1 - (2xy -1)x^2y - x = 2 - 2xyx(xy -1) = -2x
Logo mu(x) satisfaz mu'/mu = -2/x, ou seja
mu(x) = e^integral -tfrac2x,dx = x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-2, obtendo
l(3 + tfracyx^2r),dx + l(y - tfrac1xr),dy = 0
Agora M1(x,y)=3 + y/x^2 e N1(x,y)=y - 1/x. Conferimos
partial M1partial y = 1x^2, partial N1partial x = 1x^2,
logo a equação está exata.

Passo 5

Existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = 3 + yx^2 Rightarrow phi(x,y) = 3x - yx + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a N1
partial phipartial y = -1x + h'(y) = y - 1x Rightarrow h'(y)=y Rightarrow h(y)=y^22
Portanto
phi(x,y) = 3x - yx + y^22

Resposta

A solução geral é
3x - yx + y^22 = C,
com C constante de integração.

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