Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty sen^2(n)2^n

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
sumn=1^inftysin^2(n)2^n.
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas de termos não negativos. Vamos precisar do teste da comparação e do teste da raiz para séries.

Passo 2

Como para todo n vale
0 <= sin^2(n)<= 1,
temos
0 <= sin^2(n)2^n <= 12^n
E sabemos que
sumn=1^infty12^n
é uma série geométrica convergente (razão 1/2<1).
Pelo teste da comparação direta, a série dada converge.

Passo 3

Alternativamente, aplicamos o teste da raiz: seja
an = sin^2(n)2^n
Então
raiz[n]an = raiz[n]sin^2(n);12 = (sin^2(n))^1/n,12
Como limntoinfty(sin^2(n))^1/n=1, obtemos
limsupntoinftyraiz[n]an = 12<1
Portanto, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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