Nos problemas abaixo, resolva a equação.
(2 y^2+2 y+4 x^2) d x-(2 x y+x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(2y^2+2y+4x^2r),dx ;-;(2xy+x),dy ;=;0
Aqui M(x,y)=2y^2+2y+4x^2 e N(x,y)=-l(2xy+xr). Queremos ver se é exata e, se não for, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=4y+2, partial Npartial x=-(2y+1)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata. Tentamos um fator integrante mu que dependa só de x. Usamos a fórmula
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr) =(4y+2)-[-(2y+1)]-(2xy+x) =6y+3-x(2y+1) =-3x,
que é função só de x. Portanto
mu(x) =exp!gl(integral -3x,dxgr) =expl(-3ln|x|r) =x^-3

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-3$, obtendo
M^*=2y^2+2y+4x^2x^3, N^*=-2xy+xx^3 =-2y+1x^2,
e verificamos
partial M^*partial y =(4y+2)x^-3, partial N^*partial x =2(2y+1)x^-3 =(4y+2)x^-3,
logo a equação é agora exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M^* e partial Psipartial y=N^*
Integramos M^* em x:
Psi(x,y) =integrall(2y^2x^-3+2y,x^-3+4x^-1r),dx =-y^2x^-2-y,x^-2+4ln|x|+h(y)
Derivando em y e igualando a N^* determina h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 5

A solução implícita é
Psi(x,y)= -y^2+yx^2+4ln|x|=C
Podemos multiplicar por -1 e renomear a constante para ficar mais bonito:

Resposta

y^2+yx^2 ;-;4ln|x|;=;C

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