Nos problemas abaixo, use o Teorema de Abel e a fórmula y2(x)=y1(x) cdot integral W[y1, y2](x)(y1(x))^2 d x para expressar a solução geral de cada equação em questão.
(t-1) y^prime prime-t y^prime+y=0, t>0 ; y1(t)=e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado é sobre uma equação diferencial de segunda ordem:
(t - 1) y'' - t y' + y = 0, t > 0
Já sabemos uma solução dessa equação, que é y1(t) = e^t. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o Teorema de Abel e a fórmula:
y2(t) = y1(t) cdot integral W[y1, y2](t)(y1(t))^2 , dt
Para isso, vamos seguir alguns passos detalhados.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão de uma equação linear de segunda ordem é:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Para isso, vamos dividir toda a equação original por (t - 1):
(t - 1) y'' - t y' + y = 0 Rightarrow y'' - tt - 1 y' + 1t - 1 y = 0
Assim, identificamos as funções P(t) e Q(t):
P(t) = -tt - 1 e Q(t) = 1t - 1

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Abel para encontrar o Wronskiano W[y1, y2](t). O Teorema de Abel nos diz que para uma equação na forma padrão, o Wronskiano de duas soluções é dado por:
W(t) = W[y1, y2](t) = C cdot e^-integral P(t) , dt
Onde C é uma constante.
Vamos calcular essa integral:
integral P(t) , dt = integral -tt - 1 , dt
Para resolver essa integral, fazemos uma divisão:
-tt - 1 = -1 - 1t - 1
Então,
integral P(t) , dt = integral (-1 - 1t - 1) dt = -t - ln|t - 1| + C
Portanto, o Wronskiano é:
W(t) = C cdot e^t + ln|t - 1| = C cdot (t - 1) e^t
Para simplificar, podemos escolher C = 1, então:
W(t) = (t - 1) e^t

Passo 4

Agora que temos o Wronskiano, vamos usar a fórmula para encontrar a segunda solução y2(t):
y2(t) = y1(t) cdot integral W(t)(y1(t))^2 , dt
Substituindo y1(t) = e^t e W(t) = (t - 1) e^t na fórmula:
y2(t) = e^t cdot integral (t - 1) e^te^2t , dt = e^t cdot integral t - 1e^t , dt
Simplificando a fração dentro da integral:
t - 1e^t = (t - 1) e^-t
Então,
y2(t) = e^t cdot integral (t - 1) e^-t , dt

Passo 5

Vamos resolver a integral integral (t - 1) e^-t , dt. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = t - 1 Rightarrow du = dt
dv = e^-t dt Rightarrow v = -e^-t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral (t - 1) e^-t , dt = -(t - 1) e^-t + integral e^-t , dt = -(t - 1) e^-t - e^-t + C
Simplificando:
= -t e^-t + e^-t - e^-t + C = -t e^-t + C

Passo 6

Voltando à expressão de y2(t):
y2(t) = e^t cdot (-t e^-t + C) = -t + C e^t
Como estamos buscando uma segunda solução linearmente independente, podemos ignorar a constante C e^t, pois ela está associada à primeira solução y1(t). Assim, a segunda solução é:
y2(t) = -t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 (-t)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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