Nos problemas abaixo, use o Teorema de Abel e a fórmula
para expressar a solução geral de cada equação em questão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado é sobre uma equação diferencial de segunda ordem:
Já sabemos uma solução dessa equação, que é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o Teorema de Abel e a fórmula:
Para isso, vamos seguir alguns passos detalhados.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão de uma equação linear de segunda ordem é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
:
Assim, identificamos as funções
e
:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Abel para encontrar o Wronskiano
. O Teorema de Abel nos diz que para uma equação na forma padrão, o Wronskiano de duas soluções é dado por:
Onde
é uma constante.
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma divisão:
Então,
Portanto, o Wronskiano é:
Para simplificar, podemos escolher
, então:
Passo 4
Agora que temos o Wronskiano, vamos usar a fórmula para encontrar a segunda solução
:
Substituindo
e
na fórmula:
Simplificando a fração dentro da integral:
Então,
Passo 5
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Passo 6
Voltando à expressão de
:
Como estamos buscando uma segunda solução linearmente independente, podemos ignorar a constante
, pois ela está associada à primeira solução
. Assim, a segunda solução é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.