Resolva os problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+5 y=\operatorname{sen} t+u_{\pi}(t) \operatorname{sen}(t-\pi) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com segunda derivada
y'' + 5\,y = \sin t + u_{\pi}(t)\,\sin(t - \pi),
sujeita a y(0)=0 e y'(0)=0. Aqui u_{\pi}(t) é o degrau de Heaviside que ativa o segundo termo para t\ge \pi. O conteúdo envolve:
– resolução de y''+5y=f(t) por coeficientes a determinar (parte homogênea + particular),
– tratamento em dois intervalos ( 0\le t<\pi e t\ge\pi), impondo continuidade de y e y' em t=\pi.

Passo 2

Para 0\le t<\pi temos u_{\pi}(t)=0, de modo que
y'' + 5y = \sin t.
Procuramos solução geral y_1(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) com
y_{h}(t)=C\cos(\sqrt5\,t)+D\sin(\sqrt5\,t),
e tentativa particular y_{p}(t)=A\sin t + B\cos t. Substituindo em y''+5y, obtém-se
(-A\sin t - B\cos t)+5(A\sin t + B\cos t)=4A\sin t +4B\cos t \equiv \sin t,
logo 4A=1, 4B=0, ou seja A=\tfrac14, B=0.
Impondo y_1(0)=0 e y_1'(0)=0:
y_1(0)=C + 0 +0=0\;\Longrightarrow\;C=0,
y_1'(t)=-C\sqrt5\sin(\sqrt5 t)+D\sqrt5\cos(\sqrt5 t)+\tfrac14\cos t,
logo em t=0: \,D\sqrt5+\tfrac14=0\Rightarrow D=-\tfrac1{4\sqrt5}.
Assim, para 0\le t<\pi,
\boxed{y_1(t)=-\frac{1}{4\sqrt5}\,\sin(\sqrt5\,t)+\frac14\,\sin t.}

Passo 3

Calculamos em t=\pi os valores de contorno para ligar com o ramo seguinte:
y_1(\pi)=-\frac{1}{4\sqrt5}\,\sin(\sqrt5\,\pi),
y_1'(\pi)=-\frac14\cos(\sqrt5\,\pi)+\frac14\cos\pi =-\frac14\cos(\sqrt5\,\pi)-\frac14.

Passo 4

Para t\ge\pi escrevemos t=\pi+\tau com \tau\ge0. A equação vira
y''+5y=\sin t+\sin(t-\pi) \;\Longrightarrow\;y''+5y=\sin(\pi+\tau)+\sin\tau =-\sin\tau+\sin\tau=0?
Atenção: o termo \sin t não desaparece; devemos tratar os dois forçantes separadamente por linearidade:
– já respondemos \sin t via y_1;
– para u_\pi(t)\sin(t-\pi) tomamos nova solução particular em \tau:
y_{p2}(\tau)=\frac14\sin\tau,
pois satisfaz y''+5y=\sin\tau. A parte homogênea em \tau é
y_{h2}(\tau)=C_2\cos(\sqrt5\,\tau)+D_2\sin(\sqrt5\,\tau).
Impondo continuidade em t=\pi ( \tau=0):
y(\pi^+)=y_1(\pi)=C_2+0+\frac14\sin0 \;\Longrightarrow\;C_2=-\frac{1}{4\sqrt5}\,\sin(\sqrt5\,\pi),
e na derivada
y'(\pi^+)=y_1'(\pi) =-\frac14\cos(\sqrt5\,\pi)-\frac14 =D_2\sqrt5+\frac14\cos0 \;\Longrightarrow\; D_2\sqrt5=-\frac14\cos(\sqrt5\,\pi)-\frac12,
D_2=-\frac{\cos(\sqrt5\,\pi)+2}{4\sqrt5}.

Passo 5

Reescrevendo em t\ge\pi ( \tau=t-\pi), a solução é
y_2(t)=C_2\cos\bigl(\sqrt5\,(t-\pi)\bigr) +D_2\sin\bigl(\sqrt5\,(t-\pi)\bigr) +\frac14\,\sin\bigl(t-\pi\bigr),
com
C_2=-\frac{\sin(\sqrt5\,\pi)}{4\sqrt5}, \quad D_2=-\frac{\cos(\sqrt5\,\pi)+2}{4\sqrt5}.

Resposta

A solução completa é
y(t)= \begin{cases} -\displaystyle\frac{1}{4\sqrt{5}}\,\sin(\sqrt{5}\,t)+\displaystyle\frac{1}{4}\,\sin t, &0\le t<\pi,\\[1em] -\displaystyle\frac{\sin(\sqrt{5}\,\pi)}{4\sqrt{5}}\,\cos\bigl(\sqrt{5}\,(t-\pi)\bigr) -\displaystyle\frac{\cos(\sqrt{5}\,\pi)+2}{4\sqrt{5}}\,\sin\bigl(\sqrt{5}\,(t-\pi)\bigr) +\displaystyle\frac{1}{4}\,\sin\bigl(t-\pi\bigr), &t\ge\pi. \end{cases}]

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