Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com segunda derivada
sujeita a
e
. Aqui
é o degrau de Heaviside que ativa o segundo termo para
. O conteúdo envolve:
– resolução de por coeficientes a determinar (parte homogênea
particular),
– tratamento em dois intervalos ( e
), impondo continuidade de
e
em
.
– resolução de
– tratamento em dois intervalos (
Passo 2
Para
temos
, de modo que
Procuramos solução geral
com
e tentativa particular
. Substituindo em
, obtém-se
logo
,
, ou seja
,
.
Impondo e
:
Impondo
logo em
:
Assim, para ,
Assim, para
Passo 3
Calculamos em
os valores de contorno para ligar com o ramo seguinte:
Passo 4
Para
escrevemos
com
. A equação vira
Atenção: o termo
não desaparece; devemos tratar os dois forçantes separadamente por linearidade:
– já respondemos via
;
– para tomamos nova solução particular em
:
– já respondemos
– para
pois satisfaz
. A parte homogênea em
é
Impondo continuidade em
(
):
e na derivada
Passo 5
Reescrevendo em
(
), a solução é
com
Resposta
A solução completa é