Sejam u=(-1,1,1) e v=(2,0,1) dois vetores. Encontre os vetores w que são paralelos ao plano determinado por O, u e v, perpendiculares a v e u w=7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u=(-1,1,1) e v=(2,0,1). A tarefa é encontrar um vetor w que satisfaz três condições:
  1. w é paralelo ao plano formado pelos vetores u e v.
  2. w é perpendicular a v.
  3. O produto escalar de u e w é igual a 7, ou seja, u cdot w = 7.
Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre planos, vetores paralelos e perpendiculares, e produto escalar. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, entender que w ser paralelo ao plano definido por u e v significa que w pode ser escrita como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja:
w = au + bv
Onde a e b são números que a gente vai descobrir.

Passo 3

Agora, a condição de que w é perpendicular a v significa que o produto escalar entre w e v deve ser zero:
w cdot v = 0
Substituindo w na equação:
(au + bv) cdot v = 0
Isso se expande para:
a(u cdot v) + b(v cdot v) = 0

Passo 4

Vamos calcular os produtos escalares u cdot v e v cdot v.
Para u cdot v:
u cdot v = (-1)(2) + (1)(0) + (1)(1) = -2 + 0 + 1 = -1
Para v cdot v:
v cdot v = (2)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 4 + 0 + 1 = 5
Então, nossa equação fica:
-1 cdot a + 5 cdot b = 0
ou
- a + 5b = 0

Passo 5

Da equação -a + 5b = 0, podemos expressar a em função de b:
-a + 5b = 0 Rightarrow a = 5b
Então, w pode ser escrita como:
w = 5bu + bv = b(5u + v)

Passo 6

Agora, usamos a terceira condição: u cdot w = 7. Substituindo w:
u cdot (5bu + bv) = 7
Isso se expande para:
5b(u cdot u) + b(u cdot v) = 7

Passo 7

Vamos calcular u cdot u:
u cdot u = (-1)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3
E já sabemos que u cdot v = -1.
Substituindo:
5b(3) + b(-1) = 7 15b - b = 7 14b = 7 b = 714 = 12

Passo 8

Agora que encontramos b = 12, podemos encontrar a usando a = 5b:
a = 5 cdot 12 = 52

Passo 9

Finalmente, substituímos a e b na expressão de w:
w = au + bv = 52u + 12v
Calculando cada parte:
52u = 52(-1, 1, 1) = (-52, 52, 52) 12v = 12(2, 0, 1) = (1, 0, 12)
Somando os componentes:
w = (-52 + 1, 52 + 0, 52 + 12) = (-32, 52, 3)

Resposta

O vetor w que satisfaz todas as condições é:
w = (-32, 52, 3)

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