Sejam
e
dois vetores. Encontre os vetores
que são paralelos ao plano determinado por
e
, perpendiculares a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
. A tarefa é encontrar um vetor
que satisfaz três condições:
-
é paralelo ao plano formado pelos vetores e . -
é perpendicular a . - O produto escalar de
e é igual a 7, ou seja, .
Para resolver isso, a gente vai precisar saber sobre planos, vetores paralelos e perpendiculares, e produto escalar. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, entender que
ser paralelo ao plano definido por
e
significa que
pode ser escrita como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja:
Onde
e
são números que a gente vai descobrir.
Passo 3
Agora, a condição de que
é perpendicular a
significa que o produto escalar entre
e
deve ser zero:
Substituindo
na equação:
Isso se expande para:
Passo 4
Vamos calcular os produtos escalares
e
.
Para
:
Para
:
Então, nossa equação fica:
ou
Passo 5
Da equação
, podemos expressar
em função de
:
Então,
pode ser escrita como:
Passo 6
Agora, usamos a terceira condição:
. Substituindo
:
Isso se expande para:
Passo 7
Vamos calcular
:
E já sabemos que
.
Substituindo:
Passo 8
Agora que encontramos
, podemos encontrar
usando
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
:
Calculando cada parte:
Somando os componentes:
Resposta
O vetor
que satisfaz todas as condições é: