Sejam u=(1,-1,3) e v=(3,-5,6). Encontre proju+v(2 u-v).

Passo 1

O enunciado pede a projeção de 2u-v sobre u+v. O conteúdo aqui é projeção de um vetor num outro, para o qual usamos a definição
projw(x) =xcdotwwcdotw,w
Vamos calcular passo a passo w=u+v, x=2u-v, depois xcdotw e wcdotw, e enfim aplicar a fórmula.

Passo 2

Calculando u+v e 2u-v:
u+v=(1,-1,3)+(3,-5,6)=(4,-6,9),
2u-v=2,(1,-1,3)-(3,-5,6)=(2,-2,6)-(3,-5,6)=(-1,3,0)

Passo 3

Agora o produto escalar (2u-v)cdot(u+v):
(-1,3,0)cdot(4,-6,9) =-1cdot4+3cdot(-6)+0cdot9 =-4-18 =-22

Passo 4

Em seguida, a norma ao quadrado de u+v:
(4,-6,9)cdot(4,-6,9) =4^2+(-6)^2+9^2 =16+36+81 =133

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula da projeção:
proju+v(2u-v) =-22133,(4,-6,9) =l(-tfrac88133,;tfrac132133,;-,tfrac198133r)

Resposta

proju+v(2u-v) =l(-tfrac88133,;tfrac132133,;-,tfrac198133r)

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