Nos problemas 1-4, calcule o gradiente para a função dada.
f(x, y)=y-e^{-2 x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=y - e^{-2x^2y}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia para a função exponencial.

Passo 2

Vamos calcular \frac{\partial f}{\partial x}.
Temos
f(x,y)=y - e^{u(x,y)},\quad u(x,y)=-2x^2y.
Então
\frac{\partial}{\partial x}[y]=0, \quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{u}\bigr) =-e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x^2y)=-4xy,
segue
\frac{\partial f}{\partial x} =0 - e^{-2x^2y}\,(-4xy) =4xy\,e^{-2x^2y}.

Passo 3

Agora calculamos \frac{\partial f}{\partial y}.
De novo,
\frac{\partial}{\partial y}[y]=1, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{u}\bigr) =-e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x^2y)=-2x^2,
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\frac{\partial f}{\partial y} =1 - e^{-2x^2y}\,(-2x^2) =1+2x^2\,e^{-2x^2y}.

Resposta

\nabla f(x,y) =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =\bigl(4xy\,e^{-2x^2y},\;1+2x^2\,e^{-2x^2y}\bigr).

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