Nos problemas 5 a 8 , considerando os vetores v_{1}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right) e v_{2}=\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}, \mathrm{z}_{2}\right) do espaço vetorial \mathrm{V}=\mathbb{R}^{3}, verificar quais das funções f: \mathrm{V} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathbb{R}, definidas em cada um deles, são produtos internos em V . Para aquelas que não são produto interno, citar os axiomas que não se verificam:
f\left(v_{1}, v_{2}\right)=\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}+\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2}-\mathrm{x}_{2} \mathrm{y}_{1}-\mathrm{x}_{1} \mathrm{y}_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\bigl(v_{1},v_{2}\bigr) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} - x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}
é um produto interno em V=\mathbb{R}^3. Para isso, vamos conferir os três axiomas de produto interno:
  1. simetria;
  2. bilinearidade (linearidade na primeira componente e, por simetria, na segunda);
  3. positividade definida (i.e.\ f(v,v)\ge0 e só se anula em v=0).

Passo 2

Verificamos a simetria, ou seja, que
f(v_{1},v_{2}) \stackrel{?}{=} f(v_{2},v_{1}).
Escrevendo
f(v_{1},v_{2}) = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} - x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2},
e trocando os índices 1\leftrightarrow2, obtemos
f(v_{2},v_{1}) = x_{2}x_{1}+y_{2}y_{1}+z_{2}z_{1} - x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},
que é exatamente o mesmo valor. Logo, a simetria vale.

Passo 3

Testamos a bilinearidade na primeira componente. Para v,w,u\in V e \alpha\in\mathbb{R}, temos:
f(v+w,u) = f(v,u)+f(w,u), \qquad f(\alpha v,u) = \alpha\,f(v,u).
Basta expandir term a term e ver que cada termo de f se distribui corretamente sobre soma e fator constante. Portanto, f é bilinear (e por simetria é bilinear também na segunda componente).

Passo 4

Calculamos f(v,v) para ver a positividade: escrevendo v=(x,y,z),
f(v,v) = x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy = (x-y)^{2}+z^{2}.
Logo f(v,v)\ge0 para todo v. No entanto, se tomarmos v=(1,1,0)\neq0, obtemos
f\bigl((1,1,0),(1,1,0)\bigr) = (1-1)^{2}+0^{2}=0.
Isso mostra que f(v,v)=0 mesmo para v\neq0, violando a definição estrita de positividade.

Passo 5

Concluímos que f falha no axioma de positividade definida, pois não vale que f(v,v)=0 só quando v=0.

Resposta

A aplicação f não é um produto interno em \mathbb{R}^3, pois não satisfaz a positividade definida (há vetores v\neq0 com f(v,v)=0).

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