Nos problemas 5 a 8 , considerando os vetores
e
do espaço vetorial
, verificar quais das funções
, definidas em cada um deles, são produtos internos em V . Para aquelas que não são produto interno, citar os axiomas que não se verificam:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é um produto interno em
. Para isso, vamos conferir os três axiomas de produto interno:
- simetria;
- bilinearidade (linearidade na primeira componente e, por simetria, na segunda);
- positividade definida (i.e.\
e só se anula em ).
Passo 2
Verificamos a simetria, ou seja, que
Escrevendo
e trocando os índices
, obtemos
que é exatamente o mesmo valor. Logo, a simetria vale.
Passo 3
Testamos a bilinearidade na primeira componente. Para
e
, temos:
Basta expandir term a term e ver que cada termo de
se distribui corretamente sobre soma e fator constante. Portanto,
é bilinear (e por simetria é bilinear também na segunda componente).
Passo 4
Calculamos
para ver a positividade: escrevendo
,
Logo
para todo
. No entanto, se tomarmos
, obtemos
Isso mostra que
mesmo para
, violando a definição estrita de positividade.
Passo 5
Concluímos que
falha no axioma de positividade definida, pois não vale que
só quando
.
Resposta
A aplicação
não é um produto interno em
, pois não satisfaz a positividade definida (há vetores
com
).