Nos problemas de (a) a (d) são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(a) V=P_{2},
\left(a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\right)+\left(b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}\right)=\left(a_{2}+b_{2}\right) x^{2}+\left(a_{1}+b_{1}\right) x+\left(a_{0}+b_{0}\right)
k\left(a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\right)=\left(k a_{2}\right) x^{2}+\left(k a_{1}\right) x+\left(k a_{0}\right) ; \quad k \in \Re

Passo 1

O enunciado define o conjunto V = P_{2} de todos os polinômios reais de grau no máximo 2, com a soma e o produto por escalar dados coeficiente a coeficiente. O conteúdo é verificar se P_{2} com essas operações forma um espaço vetorial sobre \Re, isto é, se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Mostramos que P_{2} não é vazio e possui o elemento neutro da adição. De fato, o polinômio zero
0(x) = 0\cdot x^2 + 0\cdot x + 0
está em P_{2} e, para qualquer p(x)\in P_{2},
p(x)+0(x)=p(x)\quad\text{e}\quad 0(x)+p(x)=p(x).

Passo 3

Verificamos fechamento sob as operações:
  1. Soma: se
p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},\quad q(x)=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}
então
p(x)+q(x)=(a_{2}+b_{2})x^{2}+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})
é também de grau no máximo 2, logo está em P_{2}.
2) Produto por escalar: para k\in\Re,
k\,p(x)=k\,a_{2}x^{2}+k\,a_{1}x+k\,a_{0}
é polinômio de grau no máximo 2, logo em P_{2}.

Passo 4

As demais propriedades—associatividade e comutatividade da soma, existência de inverso aditivo -p(x), distributividade do escalar sobre soma de polinômios e de escalares, e associatividade do produto por escalar—seguem diretamente da igualdade de coeficientes e das propriedades do corpo \Re. Portanto, todos os oito axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.

Resposta

P_{2} com as operações dadas é um espaço vetorial sobre \Re.

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