Nos problemas de (a) a (d) são dados conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique quais deles são espaços vetoriais. Nos casos que não são, diga quais axíomas não se verificam.
(a)
,
(a)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
de todos os polinômios reais de grau no máximo 2, com a soma e o produto por escalar dados coeficiente a coeficiente. O conteúdo é verificar se
com essas operações forma um espaço vetorial sobre
, isto é, se satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio e possui o elemento neutro da adição. De fato, o polinômio zero
está em
e, para qualquer
,
Passo 3
Verificamos fechamento sob as operações:
- Soma: se
então
é também de grau no máximo 2, logo está em
.
2) Produto por escalar: para ,
2) Produto por escalar: para
é polinômio de grau no máximo 2, logo em
.
Passo 4
As demais propriedades—associatividade e comutatividade da soma, existência de inverso aditivo
, distributividade do escalar sobre soma de polinômios e de escalares, e associatividade do produto por escalar—seguem diretamente da igualdade de coeficientes e das propriedades do corpo
. Portanto, todos os oito axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.