Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis e encontre a inversa quando for o caso.
\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -1 \\\\ 3 & -1 & 2 \\\\ -1 & -3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\[6pt] 3 & -1 & 2 \\[6pt] -1 & -3 & 4 \end{pmatrix}
é invertível e, se for o caso, encontrar A^{-1}. Para isso vamos calcular \det(A): uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante for diferente de zero.]

Passo 2

Vamos expandir \det(A) pela primeira linha:
\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix}-1 & 2\\\\ -3 & 4\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\\\ -1 & 4\end{vmatrix} + (-1)\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\\\ -1 & -3\end{vmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\begin{vmatrix}-1 & 2\\\\ -3 & 4\end{vmatrix} =(-1)\cdot 4 - 2\cdot(-3) =-4 +6 = 2,
\begin{vmatrix}3 & 2\\\\ -1 & 4\end{vmatrix} =3\cdot4 - 2\cdot(-1) =12 +2 = 14,
\begin{vmatrix}3 & -1\\\\ -1 & -3\end{vmatrix} =3\cdot(-3) - (-1)\cdot(-1) =-9 -1 = -10.
Substituindo,
\det(A) = 2\cdot 2 \;-\; 1\cdot 14 \;+\; (-1)\cdot(-10) =4 -14 +10 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e, portanto, não tem inversa.

Resposta

A matriz não é invertível, pois \det(A)=0.

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