Questão 2: Sejam r a reta que passa pelos pontos A:(1,5,2) e B:(2,3,1) e s a reta cuja equação na forma simétrica é x-1=\frac{y+2}{5}=z-1. Faça os seguintes itens
(a) Estude a posição relativa entre r e s.
(b) Calcule a distância entre elas.
Passo 1
O enunciado define duas retas em \mathbb{R}^3:
– A reta r passa pelos pontos A=(1,5,2) e B=(2,3,1).
– A reta s é dada na forma simétrica
x - 1 \;=\;\frac{y + 2}{5}\;=\;z - 1.
Precisamos (a) estudar a posição relativa entre r e s e (b) calcular a distância entre elas caso sejam reversas.
Passo 2
Vamos obter uma parametrização e os vetores de direção de cada reta.
Para r, tomando parâmetro u, temos
Para s, chamando o parâmetro de t, da forma simétrica x-1=t, (y+2)/5=t, z-1=t, obtemos
s: \;\mathbf{s}(t)=(1,-2,1)+t\,(1,5,1).
Então o vetor de direção de s é
\mathbf{d}_s = (1,\,5,\,1).
Passo 3
Verificamos se \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s são proporcionais, ou seja, se existem \lambda tal que
(1,-2,-1)=\lambda\,(1,5,1).
Comparando componentes, teríamos \lambda=1 pela primeira, mas isso exigiria -2=5, o que é falso. Logo \mathbf{d}_r\not\parallel\mathbf{d}_s: as retas não são paralelas.
Passo 4
Para ver se intersectam, resolveríamos
(1,5,2)+u\,(1,-2,-1)=(1,-2,1)+t\,(1,5,1)
em u,t\). Isso dá o sistema
\[\begin{cases} 1+u = 1 + t,\\\\ 5-2u = -2 +5t,\\\\ 2 -u = 1 + t. \end{cases}
Da primeira equação vem u=t\]. Substituindo na terceira, \(2-u=1+u leva a u=\tfrac12. Na segunda, 5-2(\tfrac12)=-2+5(\tfrac12) fica 4=0{,}5, contradição. Portanto não há ponto comum.
Passo 5
Como não são paralelas nem se intersectam, concluímos que as retas r e s são reversas (skew lines).
Passo 6
A distância entre duas retas reversas pode ser obtida pela fórmula