Questão 2: Sejam r a reta que passa pelos pontos A:(1,5,2) e B:(2,3,1) e s a reta cuja equação na forma simétrica é x-1=\frac{y+2}{5}=z-1. Faça os seguintes itens
(a) Estude a posição relativa entre r e s.
(b) Calcule a distância entre elas.

Passo 1

O enunciado define duas retas em \mathbb{R}^3:
– A reta r passa pelos pontos A=(1,5,2) e B=(2,3,1).
– A reta s é dada na forma simétrica
x - 1 \;=\;\frac{y + 2}{5}\;=\;z - 1.
Precisamos (a) estudar a posição relativa entre r e s e (b) calcular a distância entre elas caso sejam reversas.

Passo 2

Vamos obter uma parametrização e os vetores de direção de cada reta.
Para r, tomando parâmetro u, temos
r: \; \mathbf{r}(u)=A + u\,(B-A) \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{r}(u)=(1,5,2)+u\,(1,-2,-1).
Logo o vetor de direção de r é
\mathbf{d}_r = (1,\,-2,\,-1).
Para s, chamando o parâmetro de t, da forma simétrica x-1=t, (y+2)/5=t, z-1=t, obtemos
s: \;\mathbf{s}(t)=(1,-2,1)+t\,(1,5,1).
Então o vetor de direção de s é
\mathbf{d}_s = (1,\,5,\,1).

Passo 3

Verificamos se \mathbf{d}_r e \mathbf{d}_s são proporcionais, ou seja, se existem \lambda tal que
(1,-2,-1)=\lambda\,(1,5,1).
Comparando componentes, teríamos \lambda=1 pela primeira, mas isso exigiria -2=5, o que é falso. Logo \mathbf{d}_r\not\parallel\mathbf{d}_s: as retas não são paralelas.

Passo 4

Para ver se intersectam, resolveríamos
(1,5,2)+u\,(1,-2,-1)=(1,-2,1)+t\,(1,5,1)
em u,t\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} 1+u = 1 + t,\\\\ 5-2u = -2 +5t,\\\\ 2 -u = 1 + t. \end{cases}
Da primeira equação vem u=t\]. Substituindo na terceira, \(2-u=1+u leva a u=\tfrac12. Na segunda, 5-2(\tfrac12)=-2+5(\tfrac12) fica 4=0{,}5, contradição. Portanto não há ponto comum.

Passo 5

Como não são paralelas nem se intersectam, concluímos que as retas r e s são reversas (skew lines).

Passo 6

A distância entre duas retas reversas pode ser obtida pela fórmula
d=\frac{\bigl|\,(P_0 - A)\cdot(\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s)\bigr|}% {\bigl\|\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s\bigr\|},
onde A é um ponto em r e P_0 um ponto em s. Tomemos A=(1,5,2) e P_0=(1,-2,1).

Passo 7

Calculemos primeiro o produto vetorial
\mathbf{d}_r \times \mathbf{d}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} =(3,\,-2,\,7).
Em seguida, o vetor (P_0-A)=(1,-2,1)-(1,5,2)=(0,-7,-1). Logo
(P_0-A)\cdot(\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s) =0\cdot3 + (-7)(-2) + (-1)\cdot7 =14 -7 =7.
E o módulo do produto vetorial é
\|\mathbf{d}_r\times\mathbf{d}_s\| =\sqrt{3^2 + (-2)^2 +7^2} =\sqrt{9+4+49} =\sqrt{62}.
Portanto a distância é
d = \frac{|7|}{\sqrt{62}} = \frac{7}{\sqrt{62}}.

Resposta

(a) As retas são reversas (skew).
(b) A distância entre elas é \displaystyle \frac{7}{\sqrt{62}}.

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