Questão 3: Considere a reta r cujas equações na forma paramétrica são: r:\left\{\begin{array}{c}x=-2+\lambda \\\ y=-1-2 \lambda \text { com } \lambda \in \mathbb{R} \text { e o } \\\ z=2+\lambda\end{array}\right. plano \pi cuja equação geral é x+y+z=2. Faça os seguintes itens:
(a) Estude a posição relativa entre eles.
(b) Calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado fornece a reta r\) em forma paramétrica \[\begin{cases} x=-2+\lambda,\\\ y=-1-2\lambda,\\\ z=2+\lambda \end{cases}\quad (\lambda\in\mathbb{R})
e o plano \pi\] com a equação geral \[x+y+z=2.\] Queremos (a) estudar a posição relativa entre \(r e \pi e (b) calcular a distância entre eles. Para isso, vamos usar o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano, o critério de paralelismo e a fórmula de distância de um ponto ao plano.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano: \mathbf{v}=(1,-2,1) e \mathbf{n}=(1,1,1).
Calculamos o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=1\cdot1+(-2)\cdot1+1\cdot1=0.
Como o produto escalar é zero, concluímos que a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Para ver se a reta está contida no plano ou é apenas paralela distinta, testamos um ponto da reta na equação do plano. Tomemos \lambda=0, o que dá
P_0=(-2,-1,2).
Substituindo em x+y+z: -2)+(-1)+2=-1\neq2.
Logo P_0 não está em \pi, e a reta r é paralela ao plano \pi sem interseção.

Passo 4

Como são paralelos, a distância entre reta e plano é a mesma que a distância de P_0 a \pi. Usamos a fórmula
d = \frac{\bigl|Ax_0+By_0+Cz_0 - D\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
onde A=B=C=1 e D=2. Para P_0=(-2,-1,2) temos
|(-2)+(-1)+2 - 2| = | -3| = 3,
e \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Portanto
d = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.

Resposta

(a) A reta r é paralela ao plano \pi e não o intersecta.
(b) A distância entre r e \pi é \sqrt{3}.

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