Questão 26. As equações de Maxwell, que formam os princípios matemáticos do eletromagnetismo, se resumem a quatro equações diferenciais parciais (na forma vetorial)
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & =\frac{\rho}{\varepsilon_{0}} \\\ \nabla \cdot \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0}\left(\vec{J}+\varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \end{aligned}
onde
\vec{E} e
\vec{B} são os campos elétrico e magnético, respectivamente,
\rho é a densidade de cargas e
\vec{J} é o vetor densidade de corrente. Os parâmetros
\varepsilon_{0}=8.8541878188 \times 10^{-12} \mathrm{~F} \cdot \mathrm{~m}^{-1} e
\mu_{0}=1.25663706127 \times 10^{-6} \mathrm{~N} \cdot A^{-2} são a permessividade e a permeabilidade do vácuo, respectivamente.
No caso especial, numa região do espaço onde não haja distribuição de cargas ou correntes, as equações de Maxwell se reduzem a
\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & =0 \\\ \nabla \cdot \vec{B} & =0 \\\ \nabla \times \vec{E} & =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\\ \nabla \times \vec{B} & =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}
Ao tomar o rotacional das duas últimas equações, e usando a identidade vetorial
\nabla \times(\nabla \times \vec{A})=\nabla(\nabla \cdot \vec{A})-\nabla^{2} \vec{A},
obtemos
\begin{aligned} \nabla(\nabla \cdot \vec{E})-\nabla^{2} \vec{E} & =-\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{B} \\\ \nabla(\nabla \cdot \vec{B})-\nabla^{2} \vec{B} & =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \vec{E} \end{aligned}
Usando novamente as equações de Maxwell (2) a (5), concluímos que os campos elétrico e magnético, no vácuo, são soluções da mesma equação de onda
\begin{aligned} \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \nabla^{2} \vec{E} & =\frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\\ \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \nabla^{2} \vec{B} & =\frac{\partial^{2} \vec{B}}{\partial t^{2}} \end{aligned}
cuja velocidade de propagação é a velocidade da luz no vácuo:
c=1 / \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}=299792458 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Concluímos que as componentes dos campos elétrico e magnético se propagam, no vácuo, segundo as soluções da equação da onda, resolvida na Questão 25.