Questão 23.Encontre a solução u(r,日)da equação de Laplace na região circular r<a, 0<\theta<2 \pi ,que satisfaz a condição de contorno
u(a, \theta)=\theta(\pi-\theta), \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a solução u(r,\theta) da equação de Laplace em coordenadas polares na região r<a, 0<\theta<2\pi, sujeita à condição de contorno
u(a,\theta)=f(\theta)=\theta(\pi-\theta),\quad 0\le\theta\le2\pi.
O método é separar variáveis em polares e usar expansão em série de Fourier para f(\theta).

Passo 2

Pela separação de variáveis em coordenadas polares, a solução regular em r=0 tem a forma
u(r,\theta)=A_0/2+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\bigl(\tfrac r a\bigr)^n\cos(n\theta)+B_n\bigl(\tfrac r a\bigr)^n\sin(n\theta)\Bigr).
Na fronteira r=a, isso deve reproduzir f(\theta), portanto
f(\theta)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(n\theta)+B_n\sin(n\theta)\bigr).
Resta achar A_0, A_n e B_n.

Passo 3

O coeficiente médio é
A_0=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(\theta)\,d\theta =\frac1\pi\int_0^{2\pi}\bigl(\pi\theta-\theta^2\bigr)\,d\theta.
Calculando
\int_0^{2\pi}(\pi\theta-\theta^2)\,d\theta =\pi\frac{(2\pi)^2}{2}-\frac{(2\pi)^3}{3} =2\pi^3-\frac{8\pi^3}{3} =-\frac{2\pi^3}{3},
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A_0=\frac{-2\pi^3/3}{\pi}=-\frac{2\pi^2}{3},
e
\frac{A_0}{2}=-\frac{\pi^2}{3}.

Passo 4

Para n\ge1,
A_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta, \quad B_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta.
Usando integração por partes e sabendo que \int_0^{2\pi}\theta\cos(n\theta)\,d\theta=0, \int_0^{2\pi}\theta^2\cos(n\theta)\,d\theta=\tfrac{4\pi}{n^2},
obtém-se
A_n =\frac1\pi\Bigl(0-\frac{4\pi}{n^2}\Bigr) =-\frac{4}{n^2}.

Passo 5

Análogo para B_n: \int_0^{2\pi}\theta\sin(n\theta)\,d\theta=-\tfrac{2\pi}{n}
e \int_0^{2\pi}\theta^2\sin(n\theta)\,d\theta=-\tfrac{4\pi^2}{n},
levam a
B_n =\frac1\pi\Bigl(\pi\bigl(-\tfrac{2\pi}{n}\bigr)-\bigl(-\tfrac{4\pi^2}{n}\bigr)\Bigr) =\frac{2}{n}.

Passo 6

Substituindo na série de Fourier e reescrevendo em r<a, obtemos
u(r,\theta) =-\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{4}{n^2}\bigl(\tfrac r a\bigr)^n\cos(n\theta) +\frac{2}{n}\bigl(\tfrac r a\bigr)^n\sin(n\theta)\Bigr).

Resposta

u(r,\theta) =-\frac{\pi^2}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\frac{4}{n^2}\bigl(\tfrac r a\bigr)^n\cos(n\theta) +\frac{2}{n}\bigl(\tfrac r a\bigr)^n\sin(n\theta)\Bigr).

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