Suponha que a superfície S é dada pelo gráfico da função de classe C^1, z=f(x, y). Considere um ponto P=(x0, y0, z0) in S, mostre que a equação do plano tangente a S no ponto P é:
z-z0=fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície S definida pela equação z = f(x, y) , onde f é uma função diferenciável de classe C^1 . O ponto P = (x0, y0, z0) está sobre essa superfície. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície S no ponto P .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a definição de plano tangente a uma superfície.

Passo 2

Vamos começar lembrando que o plano tangente a uma superfície em um ponto é o melhor “plano de aproximação” da superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.
No nosso caso, a superfície é dada por z = f(x, y) . As derivadas parciais são fx e fy , que representam as taxas de variação de f nas direções de x e y , respectivamente.

Passo 3

No ponto P = (x0, y0, z0) , sabemos que z0 = f(x0, y0) . Para construir o plano tangente, usamos a fórmula geral:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Essa equação basicamente diz que a diferença entre z e z0 é aproximada pelas variações em x e y , multiplicadas pelas derivadas parciais correspondentes.

Passo 4

Vamos detalhar cada termo da equação:
  • fx(x0, y0) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0, y0) . Ela indica como z muda quando apenas x varia.
  • fy(x0, y0) é a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0, y0) . Ela mostra como z muda quando apenas y varia.
  • (x - x0) e (y - y0) representam as variações em x e y a partir do ponto P .
Multiplicando essas variações pelas derivadas parciais, obtemos a inclinação do plano tangente nas direções x e y .

Passo 5

Juntando tudo, a equação do plano tangente fica:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Isso mostra como o plano tangente está relacionado às derivadas parciais da função que define a superfície no ponto P .

Resposta

A equação do plano tangente à superfície S no ponto P = (x0, y0, z0) é:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)

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