Suponha que a superfície
é dada pelo gráfico da função de classe
. Considere um ponto
, mostre que a equação do plano tangente a
no ponto
é:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície
definida pela equação
, onde
é uma função diferenciável de classe
. O ponto
está sobre essa superfície. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a definição de plano tangente a uma superfície.
Passo 2
Vamos começar lembrando que o plano tangente a uma superfície em um ponto é o melhor “plano de aproximação” da superfície naquele ponto. Para encontrá-lo, usamos as derivadas parciais da função que define a superfície.
No nosso caso, a superfície é dada por
. As derivadas parciais são
e
, que representam as taxas de variação de
nas direções de
e
, respectivamente.
Passo 3
No ponto
, sabemos que
. Para construir o plano tangente, usamos a fórmula geral:
Essa equação basicamente diz que a diferença entre
e
é aproximada pelas variações em
e
, multiplicadas pelas derivadas parciais correspondentes.
Passo 4
Vamos detalhar cada termo da equação:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto . Ela indica como muda quando apenas varia. -
é a derivada parcial de em relação a no ponto . Ela mostra como muda quando apenas varia. -
e representam as variações em e a partir do ponto .
Multiplicando essas variações pelas derivadas parciais, obtemos a inclinação do plano tangente nas direções
e
.
Passo 5
Juntando tudo, a equação do plano tangente fica:
Isso mostra como o plano tangente está relacionado às derivadas parciais da função que define a superfície no ponto
.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: