Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
F(x, y, z)=(x^2-y) i-(x-3 z) j+(z+3 y) k Resp.: f(x, y, z)=x^33-x y+3 y z+z^22+C1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(x^2 - yr),i ;-;(x - 3z),j ;+;(z + 3y),k
e pede para provar que ele é conservativo e encontrar uma função potencial f(x,y,z).
Conteúdo: para isso vamos usar que, em um domínio simplesmente conectado (aqui R^3), F é conservativo se e somente se
nablatimes F = 0
e então obter f integrando as componentes de F=(P,Q,R).

Passo 2

Calcular o rotacional nablatimes F.
Como P=x^2-y, Q=-(x-3z) e R=z+3y, temos
nablatimes F = i & j & k[6pt] partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z[6pt] P & Q & R
Isto dá, componente a componente,
(nablatimes F)x =partial Rpartial y-partial Qpartial z =partialpartial y(z+3y)-partialpartial zl[-(x-3z)r] =3 ; - ; 3 ;=;0,
(nablatimes F)y =partial Ppartial z-partial Rpartial x =partialpartial z(x^2-y)-partialpartial x(z+3y) =0 ; - ; 0 ;=;0,
(nablatimes F)z =partial Qpartial x-partial Ppartial y =partialpartial xl[-(x-3z)r]-partialpartial y(x^2-y) =-1 ; - ; (-1);=;0 ]

Passo 3

Como nablatimes F=0 em R^3, que é simplesmente conectado, concluímos que F é conservativo. Logo existe função potencial f(x,y,z) tal que
nabla f = F

Passo 4

Integramos a primeira componente P=x^2-y em relação a x:
f(x,y,z)=integral (x^2-y),dx =x^33-x,y + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender apenas de y e z.

Passo 5

Agora usamos a condição em partial f/partial y = Q = -(x-3z). Calculamos
partialpartial yl(x^33-x,y + g(y,z)r) =-x + partial gpartial y
e impomos
-x + partial gpartial y =-(x-3z) ;;Longrightarrow;; partial gpartial y=3z
Integrando em y:
g(y,z)=3z,y + h(z),
com h(z) função só de z.

Passo 6

Finalmente usamos partial f/partial z = R = z+3y. Temos
f(x,y,z)=x^33-x,y + 3z,y + h(z),
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partial fpartial z =3y + h'(z)
e impomos
3y + h'(z)=z+3y ;;Longrightarrow;; h'(z)=z ;;Longrightarrow;; h(z)=z^22+C
Portanto
f(x,y,z) =x^33-x,y +3y,z + z^22 + C

Resposta

f(x,y,z)=x^33-x,y +3y,z + z^22 + C

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