Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k Resp.: f(x, y, z)=x y z+C1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=y z,i+x z,j+x y,k,
pede para mostrar que ele é conservativo e achar uma função potencial f tal que nabla f=F. Vamos usar o critério de que, num domínio simplesmente conectado (aqui R^3), basta verificar que nablatimes F=0.

Passo 2

Calculamos o rotor nablatimes F. Escrevendo F=(P,Q,R) com
P=y z, Q=x z, R=x y,
temos
nablatimes F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Agora cada componente:
partial Rpartial y-partial Qpartial z =partial(xy)partial y-partial(xz)partial z =x - x = 0,
partial Ppartial z-partial Rpartial x =partial(yz)partial z-partial(xy)partial x =y - y = 0,
partial Qpartial x-partial Ppartial y =partial(xz)partial x-partial(yz)partial y =z - z = 0
Logo nablatimes F=(0,0,0) em todo R^3, de modo que F é conservativo.

Passo 3

Como F é conservativo, existe f(x,y,z) com
partial fpartial x=P=y z, partial fpartial y=Q=x z, partial fpartial z=R=x y
Integramos a primeira igualdade em x:
f(x,y,z)=integral y z,dx = x y z + g(y,z),
onde g é função “constante” em relação a x.

Passo 4

Agora impomos a segunda condição:
partial fpartial y =partialpartial yl(xyz + g(y,z)r) =xz + partial gpartial y overset!= xz Longrightarrow partial gpartial y=0
logo g depende só de z, digamos g(z)=h(z).
Por fim, da terceira condição:
partial fpartial z =partialpartial zl(xyz + h(z)r) =xy + h'(z) overset!= xy Longrightarrow h'(z)=0,
logo h(z)=C1, constante.

Resposta

f(x,y,z)=x y z + C1

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