Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
pede para mostrar que ele é conservativo e achar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério de que, num domínio simplesmente conectado (aqui
), basta verificar que
.
Passo 2
Calculamos o rotor
. Escrevendo
com
temos
Agora cada componente:
Logo
em todo
, de modo que
é conservativo.
Passo 3
Como
é conservativo, existe
com
Integramos a primeira igualdade em
:
onde
é função “constante” em relação a
.
Passo 4
Agora impomos a segunda condição:
logo
depende só de
, digamos
.
Por fim, da terceira condição:
Por fim, da terceira condição:
logo
, constante.