Q2: Em problemas que envolvem o fator de Lorentz, determinadas velocidades aparecem com frequência porque produzem valores simples de \gamma. Calcule os valores de \gamma para as velocidades: \frac{3}{5} c=0,6 c, \frac{4}{5} c=0,8 c, \frac{7}{25} c=0,28 c, \frac{24}{25} c=0,96 c, \frac{5}{13} c, \frac{12}{13} c Esses valores especiais são ligados a qual propriedade matemática?

Passo 1

O enunciado pede o fator de Lorentz \gamma para várias velocidades expressas como frações de c. O conteúdo aqui é relatividade restrita e precisamos usar a definição
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.

Passo 2

Definimos \beta = v/c. Então basta calcular
1 - \beta^2,
extrair a raiz quadrada e inverter o resultado para obter \gamma.

Passo 3

Para \beta = \tfrac{3}{5}:
1 - \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25},\quad \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \tfrac{4}{5},\quad \gamma = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}.
Para \beta = \tfrac{4}{5}:
1 - \Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{16}{25} = \tfrac{9}{25},\quad \sqrt{\tfrac{9}{25}} = \tfrac{3}{5},\quad \gamma = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}.
Para \beta = \tfrac{7}{25}:
1 - \Bigl(\tfrac{7}{25}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{49}{625} = \tfrac{576}{625},\quad \sqrt{\tfrac{576}{625}} = \tfrac{24}{25},\quad \gamma = \frac{1}{24/25} = \frac{25}{24}.
Para \beta = \tfrac{24}{25}:
1 - \Bigl(\tfrac{24}{25}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{576}{625} = \tfrac{49}{625},\quad \sqrt{\tfrac{49}{625}} = \tfrac{7}{25},\quad \gamma = \frac{1}{7/25} = \frac{25}{7}.

Passo 4

Para \beta = \tfrac{5}{13}:
1 - \Bigl(\tfrac{5}{13}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{25}{169} = \tfrac{144}{169},\quad \sqrt{\tfrac{144}{169}} = \tfrac{12}{13},\quad \gamma = \frac{1}{12/13} = \frac{13}{12}.
Para \beta = \tfrac{12}{13}:
1 - \Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{144}{169} = \tfrac{25}{169},\quad \sqrt{\tfrac{25}{169}} = \tfrac{5}{13},\quad \gamma = \frac{1}{5/13} = \frac{13}{5}.

Passo 5

Observamos que cada par \bigl(\beta,\sqrt{1-\beta^2},1\bigr) forma um triângulo retângulo com lados inteiros, ou seja, um triplo pitagórico. Por isso \gamma sai sempre um número racional.

Resposta

\gamma_{\beta=3/5} = \tfrac{5}{4}
\gamma_{\beta=4/5} = \tfrac{5}{3}
\gamma_{\beta=7/25} = \tfrac{25}{24}
\gamma_{\beta=24/25} = \tfrac{25}{7}
\gamma_{\beta=5/13} = \tfrac{13}{12}
\gamma_{\beta=12/13} = \tfrac{13}{5}
Esses valores especiais estão ligados aos triângulos pitagóricos.

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