Questão 3. (4, 7) Seja o problema de valor inicial
\left{
\right.
(a) (0,3) Resolva a equação homogênea associada.
b) (2,0) Dê uma solução particular para a EDO não-homogênea
.
c) (2,0) Dê uma solução particular para a EDO não-homogênea
.
d) (0,4) Resolva o PVI, indicando o intervalo no qual a solução está definida.
\left{
(a) (0,3) Resolva a equação homogênea associada.
b) (2,0) Dê uma solução particular para a EDO não-homogênea
c) (2,0) Dê uma solução particular para a EDO não-homogênea
d) (0,4) Resolva o PVI, indicando o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos:
- achar a solução da homogênea
, - encontrar
para o termo , - encontrar
para o termo (via variação de parâmetros), - impor as condições iniciais e indicar o intervalo onde
está definido.
Passo 2
A equação homogênea é
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes.
Passo 3
Procuramos
para
Como
não é raiz da característica, tentamos
Então
e
Para igualar a
basta
logo
,
. Assim
Passo 4
Para
usamos variação de parâmetros com a base
.
O Wronskiano é . Definindo
, as fórmulas dão
O Wronskiano é
Calculamos
Assim
e
Este
está definido enquanto
, por exemplo em
.
Passo 5
A solução geral é
Impondo
: em
temos
,
,
, então
Para
calculamos rapidamente
e notamos que em
só sobrevive o termo
. Logo