Questão 3. (4, 7) Seja o problema de valor inicial
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=6 \cos 2 t-5 \operatorname{sec} t \\ y(0)=-1, y^{\prime}(0)=-1 / 2 .\end{array}\right.
(a) (0,3) Resolva a equação homogênea associada.
b) (2,0) Dê uma solução particular para a EDO não-homogênea y^{\prime \prime}+y=6 \cos 2 t.
c) (2,0) Dê uma solução particular para a EDO não-homogênea y^{\prime \prime}+y=-5 \operatorname{sec} t.
d) (0,4) Resolva o PVI, indicando o intervalo no qual a solução está definida.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+y=6\cos2t-5\operatorname{sec} t,\\\ y(0)=-1,\;y'(0)=-\tfrac12. \end{cases}
Isto é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos:
  1. achar a solução da homogênea y''+y=0,
  2. encontrar y_{p1} para o termo 6\cos2t,
  3. encontrar y_{p2} para o termo -5\operatorname{sec} t (via variação de parâmetros),
  4. impor as condições iniciais e indicar o intervalo onde \operatorname{sec} t está definido.

Passo 2

A equação homogênea é
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=\pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=A\cos t+B\sin t,
onde A,B são constantes.

Passo 3

Procuramos y_{p1} para
y''+y=6\cos2t.
Como 2 não é raiz da característica, tentamos
y_{p1}=C\cos2t+D\sin2t.
Então
y_{p1}''=-4C\cos2t-4D\sin2t
e
y_{p1}''+y_{p1}=(-4C+C)\cos2t+(-4D+D)\sin2t=-3C\cos2t-3D\sin2t.
Para igualar a 6\cos2t basta
-3C=6,\quad -3D=0
logo C=-2, D=0. Assim
y_{p1}(t)=-2\cos2t.

Passo 4

Para
y''+y=-5\operatorname{sec} t
usamos variação de parâmetros com a base \{y_1=\cos t,\;y_2=\sin t\}.
O Wronskiano é W=1. Definindo g(t)=-5\operatorname{sec} t, as fórmulas dão
y_{p2}=-y_1\int y_2\,g\,dt+y_2\int y_1\,g\,dt.
Calculamos
y_2\,g=\sin t\cdot(-5\operatorname{sec} t)=-5\tan t,\quad y_1\,g=\cos t\cdot(-5\operatorname{sec} t)=-5.
Assim
\int(-5\tan t)\,dt=5\ln\lvert\cos t\rvert, \qquad \int(-5)\,dt=-5t,
e
y_{p2}(t) =-\cos t\,(5\ln\lvert\cos t\rvert)+\sin t\,(-5t) =5\cos t\ln\lvert\cos t\rvert-5t\sin t.
Este y_{p2} está definido enquanto \cos t\neq0, por exemplo em \bigl(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr).

Passo 5

A solução geral é
y(t)=A\cos t+B\sin t -2\cos2t +5\cos t\ln\lvert\cos t\rvert -5t\sin t.
Impondo y(0)=-1: em t=0 temos \cos0=1, \sin0=0, \ln\lvert\cos0\rvert=0, então
y(0)=A-2=-1\quad\Longrightarrow\quad A=1.
Para y'(0)=-\tfrac12 calculamos rapidamente y'(t) e notamos que em t=0 só sobrevive o termo B. Logo
y'(0)=B=-\tfrac12\quad\Longrightarrow\quad B=-\tfrac12.

Resposta

\boxed{ y(t) =\cos t-\tfrac12\sin t -2\cos2t +5\cos t\ln\bigl|\cos t\bigr| -5t\sin t, \quad t\in\bigl(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr). }

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