Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que é assim:
. O objetivo aqui é identificar se essa equação é separável, linear, exata ou se precisa de um fator integrante que só depende de
ou de
. Para isso, vamos precisar entender cada um desses tipos e aplicar alguns testes básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora vamos ver se a equação pode se tornar exata multiplicando-a por um fator integrante que depende apenas de
. A ideia é encontrar uma função
tal que quando multiplicarmos toda a equação por
, ela se torne exata.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Calculando
:
-
-
- Então,
Substituindo na fórmula:
Percebemos que a integral depende de
, o que significa que
não é apenas uma função de
. Portanto, não existe um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 4
Vamos tentar agora com um fator integrante que depende apenas de
. Usamos uma fórmula semelhante:
Calculando
:
-
-
- Então,
Substituindo na fórmula:
Novamente, a integral envolve
, o que indica que
não é apenas uma função de
. Assim, não existe um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 5
Como a equação não é exata e não tem um fator integrante simples que depende só de
ou
, vamos verificar se ela é separável ou linear.
-
Equação linear: Geralmente tem a forma
. Nossa equação não se encaixa nessa forma, então não é linear. -
Equação separável: Precisa conseguir separar os termos de
dos termos de . Olhando para e , não conseguimos separar facilmente e . Portanto, não é separável.
Resposta
A equação
não é separável, não é linear, não é exata e não possui um fator integrante que depende apenas de
ou de
.