Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de x apenas ou de y apenas.
(2 x+y x^-1) d x+(x y-1) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial que é assim: (2 x + y x^-1) dx + (x y - 1) dy = 0. O objetivo aqui é identificar se essa equação é separável, linear, exata ou se precisa de um fator integrante que só depende de x ou de y. Para isso, vamos precisar entender cada um desses tipos e aplicar alguns testes básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
  • M = 2x + y x^-1
  • N = xy - 1
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = x^-1
  • partial Npartial x = y
Como x^-1 neq y, a equação não é exata.

Passo 3

Agora vamos ver se a equação pode se tornar exata multiplicando-a por um fator integrante que depende apenas de x. A ideia é encontrar uma função mu(x) tal que quando multiplicarmos toda a equação por mu(x), ela se torne exata.
Para encontrar mu(x), usamos a fórmula:
mu(x) = e^integral Nx - MyM dx
Calculando Nx - My:
  • Nx = y
  • My = x^-1
  • Então, Nx - My = y - x^-1
Substituindo na fórmula:
mu(x) = e^integral y - x^-12x + y x^-1 dx
Percebemos que a integral depende de y, o que significa que mu não é apenas uma função de x. Portanto, não existe um fator integrante que depende apenas de x.

Passo 4

Vamos tentar agora com um fator integrante que depende apenas de y. Usamos uma fórmula semelhante:
mu(y) = e^integral My - NxN dy
Calculando My - Nx:
  • My = x^-1
  • Nx = y
  • Então, My - Nx = x^-1 - y
Substituindo na fórmula:
mu(y) = e^integral x^-1 - yxy - 1 dy
Novamente, a integral envolve x, o que indica que mu não é apenas uma função de y. Assim, não existe um fator integrante que depende apenas de y.

Passo 5

Como a equação não é exata e não tem um fator integrante simples que depende só de x ou y, vamos verificar se ela é separável ou linear.
  • Equação linear: Geralmente tem a forma dydx + P(x)y = Q(x) . Nossa equação não se encaixa nessa forma, então não é linear.
  • Equação separável: Precisa conseguir separar os termos de x dos termos de y. Olhando para (2 x + y x^-1) e (x y - 1), não conseguimos separar facilmente x e y. Portanto, não é separável.

Resposta

A equação (2 x + y x^-1) dx + (x y - 1) dy = 0 não é separável, não é linear, não é exata e não possui um fator integrante que depende apenas de x ou de y.

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