Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de x apenas ou de y apenas.
(2 y^3+2 y^2) d x+(3 y^2 x+2 x y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial e precisa identificar se ela é separável, linear, exata ou se tem um fator integrante que depende só de x ou só de y. A equação que temos é:
(2 y^3 + 2 y^2) dx + (3 y^2 x + 2 x y) dy = 0
Vamos precisar entender o que cada uma dessas categorias significa para classificar a equação corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Vamos calcular essas derivadas:
M = 2 y^3 + 2 y^2 Rightarrow partial Mpartial y = 6 y^2 + 4 y
N = 3 y^2 x + 2 x y Rightarrow partial Npartial x = 3 y^2 + 2 y
Agora, comparamos partial Mpartial y e partial Npartial x:
6 y^2 + 4 y neq 3 y^2 + 2 y
Como as derivadas não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever dy/dx como um produto de uma função só de y e outra só de x.
Rearranjando a equação original para obter dy/dx:
dydx = -2 y^3 + 2 y^23 y^2 x + 2 x y
Simplificando:
dydx = -2 y^2(y + 1)x(3 y^2 + 2 y)
Aqui, não conseguimos separar as variáveis claramente, pois o y e o x estão misturados de forma que não dá para separar em uma função de y vezes uma função de x. Logo, a equação não é separável.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma dy/dx + P(x) y = Q(x). Observando a forma atual, não é fácil encaixar nessa estrutura devido aos termos envolvendo y^3 e y^2. Portanto, a equação não é linear.

Passo 5

Agora, vamos investigar se existe um fator integrante que depende apenas de y ou apenas de x. Para isso, usamos a fórmula:
mu(y) = e^integral partial Npartial x - partial Mpartial yM dy
Já calculamos partial Npartial x - partial Mpartial y = -3 y^2 - 2 y e M = 2 y^3 + 2 y^2. Então:
partial Npartial x - partial Mpartial yM = -3 y^2 - 2 y2 y^3 + 2 y^2 = -(3 y + 2)2 y^2(y + 1)
Essa expressão é uma função somente de y, o que indica que o fator integrante mu(y) existe e depende apenas de y.

Resposta

A equação dada possui um fator integrante que é uma função apenas de y.

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