Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial e precisa identificar se ela é separável, linear, exata ou se tem um fator integrante que depende só de
ou só de
. A equação que temos é:
Vamos precisar entender o que cada uma dessas categorias significa para classificar a equação corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Vamos calcular essas derivadas:
Agora, comparamos
e
:
Como as derivadas não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever
como um produto de uma função só de
e outra só de
.
Rearranjando a equação original para obter
:
Simplificando:
Aqui, não conseguimos separar as variáveis claramente, pois o
e o
estão misturados de forma que não dá para separar em uma função de
vezes uma função de
. Logo, a equação não é separável.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita na forma
. Observando a forma atual, não é fácil encaixar nessa estrutura devido aos termos envolvendo
e
. Portanto, a equação não é linear.
Passo 5
Agora, vamos investigar se existe um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Para isso, usamos a fórmula:
Já calculamos
e
. Então:
Essa expressão é uma função somente de
, o que indica que o fator integrante
existe e depende apenas de
.
Resposta
A equação dada possui um fator integrante que é uma função apenas de
.