Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de apenas ou de apenas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por (2 y^2 x - y) dx + x dy = 0 e precisamos identificar se ela é separável, linear, exata ou se possui um fator integrante que depende só de x ou só de y.
Conteúdo envolvido:
  • Equações diferenciais ordinárias (EDO)
  • Tipos de equações diferenciais: separáveis, lineares, exatas
  • Fatores integrantes
Vamos precisar revisar cada tipo para identificar qual se encaixa nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x.
Aplicando isso:
  • M(x,y) = 2y^2x - y
  • N(x,y) = x
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 4yx - 1
  • partial Npartial x = 1
Como 4yx - 1 neq 1, a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma y' + P(x)y = Q(x).
Rearranjando a equação dada:
(2 y^2 x - y) dx + x dy = 0 Rightarrow x dy = - (2 y^2 x - y) dx
Dividindo por dx:
dydx = -2 y^2 x - yx = -2y^2 + yx
A forma resultante:
dydx + 2y^2 = yx
Aqui vemos que o termo 2y^2 torna a equação não linear, já que há um y^2.

Passo 4

Vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma f(y) dy = g(x) dx.
A equação rearranjada é:
dydx = -2y^2 + yx
Tentando separar:
dy-2y^2 + yx = dx
Não conseguimos separar claramente os termos de y dos de x, então a equação não é separável.

Passo 5

Como a equação não é exata, linear ou separável, vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de x ou de y.
A fórmula para o fator integrante mu quando depende de x ou de y é dada por:
mu(x) = e^integral partial Mpartial y - partial Npartial xN dx
ou
mu(y) = e^integral partial Npartial x - partial Mpartial yM dy
Calculando partial Mpartial y - partial Npartial x:
4yx - 1 - 1 = 4yx - 2
Dividindo por N = x:
4yx - 2x = 4y - 2x
Como o resultado depende de y e de x, não é uma função que depende apenas de x ou apenas de y. Portanto, não há um fator integrante simples desse tipo.

Resposta

A equação diferencial (2 y^2 x - y) dx + x dy = 0 não é separável, nem linear, nem exata, e não possui um fator integrante que dependa apenas de x ou de y.

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