Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por
e precisamos identificar se ela é separável, linear, exata ou se possui um fator integrante que depende só de
ou só de
.
Conteúdo envolvido:
- Equações diferenciais ordinárias (EDO)
- Tipos de equações diferenciais: separáveis, lineares, exatas
- Fatores integrantes
Vamos precisar revisar cada tipo para identificar qual se encaixa nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
.
Aplicando isso:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
.
Rearranjando a equação dada:
Dividindo por
:
A forma resultante:
Aqui vemos que o termo
torna a equação não linear, já que há um
.
Passo 4
Vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma
.
A equação rearranjada é:
Tentando separar:
Não conseguimos separar claramente os termos de
dos de
, então a equação não é separável.
Passo 5
Como a equação não é exata, linear ou separável, vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou de
.
A fórmula para o fator integrante
quando depende de
ou de
é dada por:
ou
Calculando
:
Dividindo por
:
Como o resultado depende de
e de
, não é uma função que depende apenas de
ou apenas de
. Portanto, não há um fator integrante simples desse tipo.
Resposta
A equação diferencial
não é separável, nem linear, nem exata, e não possui um fator integrante que dependa apenas de
ou de
.