As questões 6. a 7. são referentes à equação diferencial y^prime prime+y=0. y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Qual é o valor de y1(pi / 4)+y2(pi / 4) ?
(a) raiz2
(b) (1+raiz3)
© 1
(d) 2 e^pi / 4
(e) NDA

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial y'' + y = 0, cujas soluções fundamentais são duas funções y1 e y2 linearmente independentes, e a solução geral é y = C1 y1 + C2 y2. Precisamos encontrar o valor de y1(pi/4) + y2(pi/4).

Passo 2

Para construir soluções explícitas, usamos a teoria de EDOs lineares com coeficientes constantes: a equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Assim, uma base de soluções reais é dada por
y1(x) = cos x, y2(x) = sin x

Passo 3

Agora avaliamos em x = pi/4: temos
y1(pi/4) = cosl(tfracpi4r) = tfracraiz22, y2(pi/4) = sinl(tfracpi4r) = tfracraiz22

Passo 4

Somando, vem
y1(pi/4) + y2(pi/4) = tfracraiz22 + tfracraiz22 = raiz2

Resposta

raiz2

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