Questão 2: A função W(T, v)=13.12+0.622 T-11.37 v^{0.16}+0.396 T v^{0.16} é um modelo para medição o índice de sensação térmica, send T\left[{ }^{\circ} C\right] a temperatura e v[k m / h] a velocidade do vento.
i. Quando T=-15\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e v=30[k m / h], qual será a taxa de variação do índice de sensação térmica, W, com respeito a temperatura?;
ii. O que acontece se a temperatura cair em 1\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] ?;
iii. O que acontece se a velocidade aumentar em 1[k m / h] ?;
iv. Determine algébrica e graficamente as retas tangentes à superfície de W, no ponto (-15,30).
v. A partir da análise do gráfico, da função e suas derivadas parciais, é possível determinar a partir de que temperatura a velocidade do tempo torna-se desprezível em relação a sensação térmica?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
W(T,v)=13.12+0.622\,T-11.37\,v^{0.16}+0.396\,T\,v^{0.16},
onde \,T\,[^{\circ}C] é a temperatura e v\,[km/h] é a velocidade do vento. O ponto de interesse é (T,v)=(-15,30). As perguntas são:
  1. Quando T=-15 e v=30, qual é a taxa de variação de W em relação a T? (ou seja, \partial W/\partial T no ponto).
  2. O que acontece se a temperatura cair em 1\\ ^{\circ}C (interpretação numérica usando a derivada parcial)?
  3. O que acontece se a velocidade aumentar em 1\\ km/h (interpretação numérica usando a derivada parcial)?
  4. Determinar, algebrica e graficamente, as retas tangentes à superfície de W no ponto (-15,30).
  5. A partir da análise da função e das derivadas parciais, determinar a partir de que temperatura a velocidade do vento torna-se desprezível em relação à sensação térmica (interpretação matemática).

Passo 2

Breve aula: o que é derivada parcial e por que usamos aqui.
  • Para uma função de duas variáveis \,W(T,v), a derivada parcial \partial W/\partial T mede a taxa de variação de W quando apenas T varia e v fica fixo. É análoga à derivada de função de uma variável, aplicando a diferenciação só em T tratando v como constante.
  • A derivada parcial \partial W/\partial v mede a taxa de variação de W quando apenas v varia e T fica fixo.
  • Essas derivadas nos dão aproximações lineares (aproximação de primeira ordem):
\Delta W \approx W_T\,\Delta T + W_v\,\Delta v,
onde W_T é \partial W/\partial T e W_v é \partial W/\partial v. Para mudanças pequenas, essa fórmula diz quanto W muda aproximadamente.

Passo 3

Calcular \partial W/\partial T simbolicamente.
A função é
W(T,v)=13.12+0.622T-11.37\,v^{0.16}+0.396T\,v^{0.16}.
Ao derivar em relação a T mantendo v constante, os termos que dependem apenas de v são constantes e desaparecem. Assim:
\frac{\partial W}{\partial T}=0.622+0.396\,v^{0.16}.
Aqui 0.622 vem da derivada de 0.622T e 0.396\,v^{0.16} vem da derivada de 0.396T\,v^{0.16} (tratando v^{0.16} como constante).

Passo 4

Avaliar \partial W/\partial T no ponto (-15,30).
Primeiro calculamos v^{0.16} para v=30:
30^{0.16}=\mathrm{e}^{0.16\ln 30}\approx 1{,}7239\quad(\text{aprox.}).
Substituindo:
\frac{\partial W}{\partial T}\Big|_{(-15,30)}=0.622+0.396\cdot 1{,}7239\approx 0{,}622+0{,}6823\approx 1{,}3043.
Interpretação direta: no ponto dado, a taxa de variação de W com relação a T é aproximadamente 1{,}3043 unidades de W por ^{\circ}C. Ou seja, se eu aumentar a temperatura em 1\\ ^{\circ}C mantendo v=30, W aumenta cerca de 1{,}3043.

Passo 5

Resposta da alínea (i) (já explicada claramente).
  • A taxa \partial W/\partial T em (-15,30) é aproximadamente 1{,}3043 (unidades de W por ^{\circ}C). Vou colocar a resposta final depois no campo

Passo 6

O que acontece se a temperatura cair em 1\\ ^{\circ}C? (alínea ii)
Usamos a aproximação linear com \Delta T=-1 e \Delta v=0:
\Delta W \approx W_T\,\Delta T = 1{,}3043\cdot(-1) \approx -1{,}3043.
Interpretação: se a temperatura diminui em 1\\ ^{\circ}C (de -15 para -16), então W diminui cerca de 1{,}3043 unidades — ou seja, a sensação térmica fica cerca de 1{,}3043 unidades mais fria. Em linguagem encorajadora: isso é a aplicação direta da derivada parcial; ela nos dá a mudança aproximada para pequenas variações.

Passo 7

Calcular \partial W/\partial v simbolicamente (necessário para alínea iii).
Ao derivar em relação a v mantendo T fixo, observe os termos com v^{0.16}. A derivada de v^{0.16} é 0.16\,v^{-0.84}. Portanto:
\frac{\partial W}{\partial v}=(-11.37+0.396\,T)\cdot 0{,}16\,v^{-0.84}.
Expliquei: agrupamos os dois termos que multiplicam v^{0.16}: -11.37+0.396T, e derivamos v^{0.16}.

Passo 8

Avaliar \partial W/\partial v no ponto (-15,30).
Primeiro calculemos o coeficiente:
-11.37+0.396\,T = -11.37+0.396(-15)=-11.37-5.94=-17.31.
Sabemos que v^{-0.84}=30^{-0.84}. Usando o resultado anterior 30^{0.16}\approx1{,}7239, note que
30^{-0.84}=30^{0.16-1}=\frac{30^{0.16}}{30}\approx\frac{1{,}7239}{30}\approx 0{,}057464.
Agora:
\frac{\partial W}{\partial v}\Big|_{(-15,30)}=0{,}16\cdot(-17.31)\cdot 0{,}057464\approx -0{,}1592.
Interpretação: no ponto dado, um aumento de 1\\ km/h na velocidade do vento reduz W em cerca de 0{,}1592 unidades (mais frio, pequeníssima variação comparada à temperatura).

Passo 9

Resposta da alínea (iii) (interpretativa).
  • Se a velocidade aumentar em 1\\ km/h mantendo T=-15, W muda aproximadamente -0{,}1592 — isto é, fica cerca de 0{,}1592 unidades mais baixa (ligeiramente mais frio).

Passo 10

Preparar o terreno para as retas tangentes (alínea iv): tangent lines na superfície.
  • A superfície é z=W(T,v). A reta tangente na direção de T é a interseção do plano tangente com a superfície obtida ao fixar v=30 (varia T só). Similarmente, a reta tangente na direção de v vem de fixar T=-15 e variar v.
  • Fórmula prática (forma paramétrica): se W_0=W(-15,30), W_T e W_v são as derivadas no ponto, então as retas parametrizadas são
    • Direção T: (T,v,W) = (-15+t,\;30,\;W_0+W_T\,t).
    • Direção v: (T,v,W) = (-15,\;30+u,\;W_0+W_v\,u).
      Agora calculamos W_0 para fechar as equações.

Passo 11

Calcular W(-15,30).
Usamos a fórmula original e o valor 30^{0.16}\approx1{,}7239:
W(-15,30)=13.12+0.622(-15)-11.37(1{,}7239)+0.396(-15)(1{,}7239).
Computando passo a passo:
13{,}12+0{,}622(-15)=13{,}12-9{,}33=3{,}79.
-11{,}37\cdot 1{,}7239\approx -19{,}60,\quad 0{,}396(-15)\cdot1{,}7239\approx -10{,}24.
Somando:
W(-15,30)\approx 3{,}79-19{,}60-10{,}24\approx -26{,}05.
Portanto W_0\approx -26{,}05 (arredondando às duas casas decimais).

Passo 12

Escrever as retas tangentes algebricamente no ponto (-15,30).
Usando W_0\approx -26{,}05, W_T\approx 1{,}3043 e W_v\approx -0{,}1592,
  • Reta tangente na direção de T (v fixo em 30):
\text{Reta}_T:\quad T=-15+t,\quad v=30,\quad W=-26{,}05+1{,}3043\,t.
Podemos eliminar o parâmetro t escrevendo t=T+15, então
\text{Reta}_T:\quad v=30,\quad W=-26{,}05+1{,}3043\,(T+15).
  • Reta tangente na direção de v (T fixo em -15):
\text{Reta}_v:\quad T=-15,\quad v=30+u,\quad W=-26{,}05-0{,}1592\,u.
Eliminando o parâmetro u com u=v-30:
\text{Reta}_v:\quad T=-15,\quad W=-26{,}05-0{,}1592\,(v-30).
Essas são as formas algébricas. Elas representam, respectivamente, a tangente à curva interseção da superfície com o plano v=30 e com o plano T=-15.

Passo 13

Descrição gráfica (como visualizar) das retas tangentes (continuação da alínea iv).
  • Visualmente: imagine a superfície z=W(T,v). Corte essa superfície com o plano vertical v=30. Essa interseção é uma curva z=\tilde W(T)=W(T,30). A primeira reta \text{Reta}_T é a reta tangente a essa curva no ponto T=-15.
  • Analogamente, corte com o plano vertical T=-15; a interseção é uma curva z=\hat W(v)=W(-15,v). A reta \text{Reta}_v é a reta tangente a essa curva no ponto v=30.
  • Em um esboço 3D, as duas retas partem do mesmo ponto (-15,30,-26{,}05): uma segue a direção do eixo T sobre a superfície, outra segue a direção do eixo v. Elas estão contidas no plano tangente ao gráfico de W nesse ponto.

Passo 14

Análise para saber a partir de que temperatura a velocidade do vento torna-se desprezível em relação à sensação térmica (alínea v).
  • Matemática direta: a sensibilidade de W ao vento é dada por
W_v=0{,}16(-11{,}37+0{,}396\,T)\,v^{-0.84}.
Para que a contribuição linear do vento torne-se nula (ou desprezível), uma condição matemática natural é anular o fator -11{,}37+0{,}396T. Resolvendo:
-11{,}37+0{,}396T=0 \quad\Rightarrow\quad T=\frac{11{,}37}{0{,}396}\approx 28{,}7121\\ ^{\circ}C.
  • Interpretação: para T\approx 28{,}71\\ ^{\circ}C, a derivada parcial W_v é zero (independente de v), então, no ponto matemático onde T é ~ 28{,}71\\ ^{\circ}C, pequenas variações na velocidade do vento não alteram W em primeira ordem. Para temperaturas maiores que esse valor, o sinal de W_v muda (matematicamente o vento passa a ter efeito oposto), o que pode ser fora do domínio físico de validade do modelo.
  • Observação prática e física: esse resultado é uma conclusão matemática do modelo. Na prática, esse índice de sensação térmica foi provavelmente construído para temperaturas frias; portanto, valores de T tão altos podem estar fora do intervalo de validade do modelo. Mas, respondendo estritamente ao problema: a temperatura a partir da qual o efeito da velocidade torna-se nulo (e, portanto, desprezível em primeira ordem) é aproximadamente 28{,}71\\ ^{\circ}C.
  • Se quisermos dizer “desprezível” quantitativamente (por exemplo, quando |W_v| for menor que uma fração pequena de |W_T|), poderíamos impor |W_v|\le \varepsilon |W_T| e resolver para T; porém o enunciado não pede um limiar numérico, então o critério natural é W_v=0.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{\partial W}{\partial T}\Big|_{(-15,30)}\approx 1{,}3043.
(ii) Se a temperatura cair 1\\ ^{\circ}C, \Delta W\approx -1{,}3043 (ou seja, W diminui cerca de 1{,}3043).
(iii) Se a velocidade aumentar 1\\ km/h, \Delta W\approx -0{,}1592 (ou seja, W diminui cerca de 0{,}1592).
(iv) Retas tangentes em (-15,30) (com W_0\approx -26{,}05, W_T\approx 1{,}3043, W_v\approx -0{,}1592):
\text{Reta}_T:\quad v=30,\quad W=-26{,}05+1{,}3043\,(T+15).
\text{Reta}_v:\quad T=-15,\quad W=-26{,}05-0{,}1592\,(v-30).
(v) A partir do critério W_v=0, a temperatura em que o efeito linear do vento se anula é
T=\frac{11{,}37}{0{,}396}\approx 28{,}71\\ ^{\circ}C.

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