Questão 3: Nos itens a seguir, obtenha
.
;
Passo 1
O enunciado pede para obter
dado que:
As perguntas são: qual é
em função de
?
As informações relevantes fornecidas são as três expressões acima (a fórmula de em termos de
e as fórmulas de
e
em termos de
). Nada mais é pedido.
As informações relevantes fornecidas são as três expressões acima (a fórmula de
Passo 2
Vamos usar a cadeia para funções de várias variáveis: quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, a derivada total é dada por
Explico:
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo), e
é a taxa de
em função de
; o produto dá a contribuição de
para a variação de
. Igual para
. Essa fórmula é a ferramenta principal aqui.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
, use a regra da cadeia simples para exponenciais:
a) Derivada parcial em relação a :
a) Derivada parcial em relação a
Aqui
é tratado como constante ao derivar em relação a
, então
. Logo
b) Derivada parcial em relação a
:
Agora
é tratado como constante, e
. Logo
Passo 4
Agora calculemos
e
a partir das funções dadas:
porque a derivada de
é
vezes a derivada interna
.
pois a derivada de
é
e de constante
é zero.
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da cadeia:
Fatorando
que aparece em ambos os termos:
Simplificando
, temos
Passo 6
Finalmente, substituímos
e
para obter a expressão totalmente em função de
. O expoente fica
Portanto
Passo 7
Se você quiser uma forma alternativa usando identidade trigonométrica, note que
. Assim
e podemos escrever
que é mais compacta — escolha a forma que você achar mais bonita na prova.