Questão 3: Nos itens a seguir, obtenha \frac{d z}{d t}.
z=e^{x^{2}-y}, \quad x=\sin (4 t), \quad y=t^{3}-9;

Passo 1

O enunciado pede para obter \dfrac{dz}{dt} dado que:
z = e^{x^{2}-y},\qquad x=\sin(4t),\qquad y=t^{3}-9.
As perguntas são: qual é \dfrac{dz}{dt} em função de t?
As informações relevantes fornecidas são as três expressões acima (a fórmula de z em termos de x,y e as fórmulas de x e y em termos de t). Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos usar a cadeia para funções de várias variáveis: quando z depende de x e y, que por sua vez dependem de t, a derivada total é dada por
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Explico: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a taxa de variação de z quando só x muda (mantendo y fixo), e \dfrac{dx}{dt} é a taxa de x em função de t; o produto dá a contribuição de x para a variação de z. Igual para y. Essa fórmula é a ferramenta principal aqui.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de z. Como z=e^{x^{2}-y}, use a regra da cadeia simples para exponenciais:
a) Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^{2}-y}\cdot \frac{d}{dx}(x^{2}-y).
Aqui y é tratado como constante ao derivar em relação a x, então \dfrac{d}{dx}(x^{2}-y)=2x. Logo
\frac{\partial z}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}-y}.
b) Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^{2}-y}\cdot \frac{d}{dy}(x^{2}-y).
Agora x é tratado como constante, e \dfrac{d}{dy}(x^{2}-y)=-1. Logo
\frac{\partial z}{\partial y}=-e^{x^{2}-y}.

Passo 4

Agora calculemos \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das funções dadas:
x=\sin(4t)\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=4\cos(4t),
porque a derivada de \sin(4t) é \cos(4t) vezes a derivada interna 4.
y=t^{3}-9\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=3t^{2},
pois a derivada de t^{3} é 3t^{2} e de constante -9 é zero.

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\left(2x\,e^{x^{2}-y}\right)\left(4\cos(4t)\right)+\left(-e^{x^{2}-y}\right)\left(3t^{2}\right).
Fatorando e^{x^{2}-y} que aparece em ambos os termos:
\frac{dz}{dt}=e^{x^{2}-y}\left(2x\cdot 4\cos(4t)-3t^{2}\right).
Simplificando 2x\cdot 4\cos(4t)=8x\cos(4t), temos
\frac{dz}{dt}=e^{x^{2}-y}\left(8x\cos(4t)-3t^{2}\right).

Passo 6

Finalmente, substituímos x=\sin(4t) e y=t^{3}-9 para obter a expressão totalmente em função de t. O expoente fica
x^{2}-y=\sin^{2}(4t)-(t^{3}-9)=\sin^{2}(4t)-t^{3}+9.
Portanto
\frac{dz}{dt}=e^{\sin^{2}(4t)-t^{3}+9}\left(8\sin(4t)\cos(4t)-3t^{2}\right).

Passo 7

Se você quiser uma forma alternativa usando identidade trigonométrica, note que 2\sin(4t)\cos(4t)=\sin(8t). Assim
8\sin(4t)\cos(4t)=4\sin(8t),
e podemos escrever
\frac{dz}{dt}=e^{\sin^{2}(4t)-t^{3}+9}\left(4\sin(8t)-3t^{2}\right),
que é mais compacta — escolha a forma que você achar mais bonita na prova.

Resposta

\frac{dz}{dt}=e^{\sin^{2}(4t)-t^{3}+9}\left(8\sin(4t)\cos(4t)-3t^{2}\right)

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