Nos problemas 1 a 4, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências.
y^{\prime}+x^{3} y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime}+x^{3}y=0
de duas maneiras: (a) pela técnica usual vista nos capítulos anteriores (resolver a ED) e (b) obtendo a solução por séries de potências e comparar os resultados. As informações relevantes dadas são: a equação é de primeira ordem, homogênea e não contém condições iniciais, portanto esperamos uma família de soluções com uma constante arbitrária. A meta é encontrar a expressão geral de y(x) e mostrar que a solução por séries coincide com a solução encontrada pela técnica direta.

Passo 2

Resolveremos a equação pela técnica padrão de equações lineares de primeira ordem — aqui é simples porque é separável. Vou explicar a ideia: podemos reescrever a equação isolando y^{\prime}:
y^{\prime}=-x^{3}y.
Isto é uma equação separável: colocamos todos os termos com y de um lado e com x do outro. A técnica de separação diz que podemos escrever
\frac{y^{\prime}}{y}=-x^{3}.
Agora interpretamos y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e integramos ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Integramos:
\int \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int -x^{3}\,dx.
À esquerda a integral dá \ln|y| e à direita -\dfrac{x^{4}}{4} mais constante. Assim,
\ln|y|=-\frac{x^{4}}{4}+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|y|=e^{C_{1}}\,e^{-x^{4}/4}.
Absorvemos o sinal e a constante numa única constante arbitrária C (que pode ser qualquer número real, incluindo zero), ficando
y=C\,e^{-x^{4}/4}.
Essa é a solução geral obtida pelo método direto (separação / integração).

Passo 4

Agora resolvemos a mesma equação por séries de potências, passo a passo, como se estivesse fazendo uma expansão em torno de x=0. Suponha que a solução seja representável por uma série de potências:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
com coeficientes a_{n} a determinar. Vamos calcular y^{\prime} e x^{3}y em termos desta série.

Passo 5

Derivando termo a termo,
y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}.
É conveniente reindexar esta soma para potência x^{m}. Coloco m=n-1, então
y^{\prime}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1}x^{m}.
Também
x^{3}y(x)=x^{3}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n+3}.
Reindexando para potência x^{m} (coloco m=n+3 ou n=m-3) obtemos
x^{3}y(x)=\sum_{m=3}^{\infty} a_{m-3}x^{m}.

Passo 6

A equação y^{\prime}+x^{3}y=0 exige que a soma das duas séries seja a série zero. Escrevendo as duas séries com expoentes x^{m} e somando:
\sum_{m=0}^{\infty} (m+1)a_{m+1}x^{m} \;+\; \sum_{m=3}^{\infty} a_{m-3}x^{m}=0.
Para que uma série em potências seja a série zero, todos os coeficientes de x^{m} devem ser zero. Vamos analisar coeficientes caso a caso.

Passo 7

Para m=0,1,2 apenas a primeira soma contribui. Assim:
  • Para m=0: (0+1)a_{1}=a_{1}=0.
  • Para m=1: 2a_{2}=0 a_{2}=0.
  • Para m=2: 3a_{3}=0 a_{3}=0.
Portanto
a_{1}=a_{2}=a_{3}=0.

Passo 8

Para m\ge 3 temos a equação
(m+1)a_{m+1}+a_{m-3}=0,
ou seja a relação de recorrência
a_{m+1}=-\frac{a_{m-3}}{m+1},\qquad m\ge 3.
Essa recorrência relaciona coeficientes com índice separado por 4 unidades. Isso sugere que muitos coeficientes serão zero e que só os coeficientes com índices múltiplos de 4 podem ser possivelmente não nulos (porque a_{1},a_{2},a_{3}=0 “bloqueiam” as cadeias que não começam em a_{0}).

Passo 9

Vamos ver explicitamente alguns termos para perceber o padrão, tomando a_{0} livre (esse será o parâmetro livre, análogo à constante C):
  • Para m=3: 4a_{4}+a_{0}=0 a_{4}=-\dfrac{a_{0}}{4}.
  • Para m=4: 5a_{5}+a_{1}=0 mas a_{1}=0 a_{5}=0.
  • Para m=5: 6a_{6}+a_{2}=0 a_{6}=0.
  • Para m=6: 7a_{7}+a_{3}=0 a_{7}=0.
  • Para m=7: 8a_{8}+a_{4}=0 a_{8}=-\dfrac{a_{4}}{8}=\dfrac{a_{0}}{4\cdot 8}=\dfrac{a_{0}}{32}.
    E assim por diante. Vê-se que a_{n}=0 quando n\not\equiv 0\pmod{4}, e que os a_{4k} são dados por uma fórmula que alterna sinal e envolve produtos de números 4,8,12,\dots.

Passo 10

Formalizando o padrão: para índices múltiplos de 4 escrevemos n=4k. A recorrência conectando a_{4k} a a_{4(k+1)} vem tomando m=4k+3 na relação anterior:
(4k+4)a_{4k+4}+a_{4k}=0 \quad\Rightarrow\quad a_{4(k+1)} = -\frac{a_{4k}}{4(k+1)}.
Isto é uma recorrência para a sequência b_{k}=a_{4k}:
b_{k+1} = -\frac{b_{k}}{4(k+1)},\qquad b_{0}=a_{0}.

Passo 11

Resolvemos essa recorrência por indução (ou reconhecendo produto de termos): para k=0 tem-se b_{0}=a_{0}. Suponha que
b_{k} = a_{0}\,\frac{(-1)^{k}}{4^{k}\,k!}.
Então
b_{k+1} = -\frac{b_{k}}{4(k+1)} = -\frac{1}{4(k+1)}\;a_{0}\,\frac{(-1)^{k}}{4^{k}k!} = a_{0}\,\frac{(-1)^{k+1}}{4^{k+1}(k+1)!},
o que confirma a fórmula por indução. Assim, para todo k\ge 0,
a_{4k}=a_{0}\,\frac{(-1)^{k}}{4^{k}k!},
e a_{n}=0 se n\not\equiv 0\pmod{4}.

Passo 12

Agora escrevemos a série solução usando apenas os termos 4k:
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_{4k} x^{4k} = a_{0}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4^{k}k!}\,x^{4k} = a_{0}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\left(-\frac{x^{4}}{4}\right)^{k}.
Reconhecemos a série da exponencial. Logo,
y(x)=a_{0}\,e^{-x^{4}/4}.

Passo 13

Comparação entre os métodos: da solução direta obtivemos
y=C\,e^{-x^{4}/4}.
Da solução por séries obtivemos
y=a_{0}\,e^{-x^{4}/4}.
Portanto as duas soluções coincidem, com a constante arbitrária C sendo igual ao coeficiente a_{0} da série de potências. Isso faz sentido: equação de primeira ordem tem exatamente uma constante arbitrária.

Resposta

y=C\,e^{-x^{4}/4}

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