Nos problemas 1 a 4, resolva cada equação diferencial da maneira dos capítulos anteriores e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
de duas maneiras: (a) pela técnica usual vista nos capítulos anteriores (resolver a ED) e (b) obtendo a solução por séries de potências e comparar os resultados. As informações relevantes dadas são: a equação é de primeira ordem, homogênea e não contém condições iniciais, portanto esperamos uma família de soluções com uma constante arbitrária. A meta é encontrar a expressão geral de
e mostrar que a solução por séries coincide com a solução encontrada pela técnica direta.
Passo 2
Resolveremos a equação pela técnica padrão de equações lineares de primeira ordem — aqui é simples porque é separável. Vou explicar a ideia: podemos reescrever a equação isolando
:
Isto é uma equação separável: colocamos todos os termos com
de um lado e com
do outro. A técnica de separação diz que podemos escrever
Agora interpretamos
e integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Integramos:
À esquerda a integral dá
e à direita
mais constante. Assim,
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Absorvemos o sinal e a constante numa única constante arbitrária
(que pode ser qualquer número real, incluindo zero), ficando
Essa é a solução geral obtida pelo método direto (separação / integração).
Passo 4
Agora resolvemos a mesma equação por séries de potências, passo a passo, como se estivesse fazendo uma expansão em torno de
. Suponha que a solução seja representável por uma série de potências:
com coeficientes
a determinar. Vamos calcular
e
em termos desta série.
Passo 5
Derivando termo a termo,
É conveniente reindexar esta soma para potência
. Coloco
, então
Também
Reindexando para potência
(coloco
ou
) obtemos
Passo 6
A equação
exige que a soma das duas séries seja a série zero. Escrevendo as duas séries com expoentes
e somando:
Para que uma série em potências seja a série zero, todos os coeficientes de
devem ser zero. Vamos analisar coeficientes caso a caso.
Passo 7
Para
apenas a primeira soma contribui. Assim:
- Para
: . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Portanto
Passo 8
Para
temos a equação
ou seja a relação de recorrência
Essa recorrência relaciona coeficientes com índice separado por 4 unidades. Isso sugere que muitos coeficientes serão zero e que só os coeficientes com índices múltiplos de 4 podem ser possivelmente não nulos (porque
“bloqueiam” as cadeias que não começam em
).
Passo 9
Vamos ver explicitamente alguns termos para perceber o padrão, tomando
livre (esse será o parâmetro livre, análogo à constante
):
- Para
: ⇒ . - Para
: mas ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
E assim por diante. Vê-se quequando , e que os são dados por uma fórmula que alterna sinal e envolve produtos de números .
Passo 10
Formalizando o padrão: para índices múltiplos de 4 escrevemos
. A recorrência conectando
a
vem tomando
na relação anterior:
Isto é uma recorrência para a sequência
:
Passo 11
Resolvemos essa recorrência por indução (ou reconhecendo produto de termos): para
tem-se
. Suponha que
Então
o que confirma a fórmula por indução. Assim, para todo
,
e
se
.
Passo 12
Agora escrevemos a série solução usando apenas os termos
:
Reconhecemos a série da exponencial. Logo,
Passo 13
Comparação entre os métodos: da solução direta obtivemos
Da solução por séries obtivemos
Portanto as duas soluções coincidem, com a constante arbitrária
sendo igual ao coeficiente
da série de potências. Isso faz sentido: equação de primeira ordem tem exatamente uma constante arbitrária.