Questão do ENAD 2017
QUESTÃO 12
De acordo com a Lei de Resfriamento de Corpos, a taxa de variação da temperatura de um corpo em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.
Considere que T(t) é a temperatura do corpo em função do tempo, A é a temperatura do ambiente, t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade.
Nesse contexto, o modelo matemático correspondente à Lei de Resfriamento de Corpos e à função resultante de sua resolução são dados, respectivamente, por
(4) d Td t=-k(T-A) ; T(t)=(T(0)-A) e^-k t+A
(B) d Td t=k(T-A) ; T(t)=(T(0)-A) e^k t+A
(- d Td t=-k(T-A) ; T(t)=e^-k t+A
(D) d Td t=k(T-A) ; T(t)=e^-k t+A
( d Td t=k(T-A) ; T(t)=e^mu+A

Passo 1

O enunciado fala da Lei de Resfriamento de Corpos, que afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo T(t) e a temperatura ambiente A. Precisamos identificar qual modelo diferencial corresponde a essa lei e, em seguida, resolver esse modelo para obter a função T(t).

Passo 2

Como a temperatura do corpo tende a se aproximar de A, a variação dTdt deve ser negativa quando T>A. Escrevemos portanto a equação diferencial por separação de constantes:
dTdt = -,kl(T - Ar),
onde k>0 é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Para resolver, separamos variáveis:
dTT - A = -,k,dt
Integramos ambos os lados:
integral dTT - A = integral -,k,dt Longrightarrow lnl|T - Ar| = -,k,t + C

Passo 4

Exponenciando, temos
T - A = C' e^-k t,
onde C' = e^C. Usando a condição inicial T(0)=T(0), obtemos
C' = T(0) - A
Logo
T(t) = A + l(T(0)-Ar)e^-k t

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que o modelo e sua solução coincidem com
dTdt = -,k(T-A), T(t) = l(T(0)-Ar)e^-k t + A,
que é a alternativa (A).

Resposta

(A) dTdt=-k(T-A); T(t)=(T(0)-A)e^-kt+A

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