QUESTÃO 12
De acordo com a Lei de Resfriamento de Corpos, a taxa de variação da temperatura de um corpo em relação ao tempo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente.
Considere que é a temperatura do corpo em função do tempo, é a temperatura do ambiente, é o tempo e é a constante de proporcionalidade.
Nesse contexto, o modelo matemático correspondente à Lei de Resfriamento de Corpos e à função resultante de sua resolução são dados, respectivamente, por
(4)
(B)
(-
(D)
(
Passo 1
O enunciado fala da Lei de Resfriamento de Corpos, que afirma que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente . Precisamos identificar qual modelo diferencial corresponde a essa lei e, em seguida, resolver esse modelo para obter a função .
Passo 2
Como a temperatura do corpo tende a se aproximar de , a variação deve ser negativa quando . Escrevemos portanto a equação diferencial por separação de constantes:
onde é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Para resolver, separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Exponenciando, temos
T - A = C' e^-k t,
onde C' = e^C. Usando a condição inicial T(0)=T(0), obtemos
C' = T(0) - A
Logo
T(t) = A + l(T(0)-Ar)e^-k t
Passo 5
Comparando com as alternativas, vemos que o modelo e sua solução coincidem com