Nos problemas de 1 a 8, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
y^{\prime \prime}+y=x, y(0)=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
y'' + y = x, \quad y(0)=0,\;y(\pi)=0.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos achar a solução geral somando a solução da homogênea e uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y_h'' + y_h = 0,
cuja solução geral é
y_h(x) = A\cos x + B\sin x.
Para uma particular, tentamos y_p(x)=Cx+D. Então y_p''=0 e
y_p'' + y_p = 0 + (Cx+D) = x
implica C=1 e D=0. Logo
y_p(x) = x
e a solução geral do problema é
y(x) = A\cos x + B\sin x + x.

Passo 3

Impondo a condição y(0)=0:
y(0) = A\cos0 + B\sin0 + 0 = A = 0.
Portanto
y(x) = B\sin x + x.

Passo 4

Agora impomos y(\pi)=0:
y(\pi) = B\sin\pi + \pi = 0 + \pi = \pi.
Isso exigiria \pi=0, o que é impossível. Portanto não há escolha de B que satisfaça ambas as condições de contorno.

Resposta

Não existe solução para o problema de contorno dado.

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