Questão 10. (Sequências) Calcule os limites:
(a) \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
(b) \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right).
Interprete brevemente a relação entre os itens (a) e (b).

Passo 1

O enunciado pede dois limites de sequências e sua relação:
– (a) \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}.
– (b) \lim_{n\to\infty}n\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr).
O conteúdo envolve propriedades do logaritmo e da função exponencial, além do limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 2

Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}n\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr).
Faça x=\tfrac1n. Então n=\tfrac1x e x\to0^+ quando n\to\infty. Logo
n\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr) =\frac{\ln(1+x)}{x}
e pelo limite fundamental \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 obtemos
\lim_{n\to\infty}n\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr)=1.

Passo 3

Para o item (a), note que
\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n} =\exp\Bigl(n\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\Bigr).
Como pelo Passo 2 já temos \lim_{n\to\infty}n\ln(1+\tfrac1n)=1, basta usar a continuidade de \exp para concluir
\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n} =\exp\bigl(\lim_{n\to\infty}n\ln(1+\tfrac1n)\bigr) =\exp(1)=e.

Passo 4

Interpretação da relação: o item (b) é justamente o logaritmo natural do termo de (a), ou seja
n\ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr) =\ln\Bigl[\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{n}\Bigr].
Portanto (b) dá o limite do expoente que, ao exponenciarmos, produz o valor de (a).

Resposta

(a) e
(b) 1

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