Nos problemas de 1 a 8, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
y^{\prime \prime}+2 y=x, y(0)=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
y'' + 2y = x,\quad y(0)=0,\quad y(\pi)=0.
O conteúdo aqui é solução de EDO linear de segunda ordem não homogênea com condições de contorno. Vamos precisar (a) achar a solução geral da homogênea y''+2y=0 e (b) um particular de y''+2y=x, depois impor as condições y(0)=0 e y(\pi)=0.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 2y = 0,
a equação característica é
r^2 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; r = \pm i\sqrt{2}.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + D\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

Passo 3

Procuramos um particular y_p(x) para
y'' + 2y = x.
Como o termo não homogêneo é polinomial de grau 1, tentamos
y_p(x) = a\,x + b.
Então y_p''(x)=0 e
y_p'' + 2y_p = 2(ax + b) \overset{!}{=} x \;\Longrightarrow\; 2a\,x + 2b = x.
Igualando coeficientes, vem
2a = 1,\quad 2b = 0 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac12,\; b = 0.
Portanto
y_p(x) = \tfrac12\,x.

Passo 4

A solução geral da EDO não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + D\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + \tfrac12\,x.

Passo 5

Impondo y(0)=0, temos
y(0)=C\cos0 + D\sin0 + \tfrac12\cdot0 = C = 0.
Logo C=0 e
y(x) = D\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + \tfrac12\,x.

Passo 6

Impondo y(\pi)=0, obtemos
y(\pi) = D\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr) + \tfrac12\,\pi = 0 \;\Longrightarrow\; D\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr) = -\tfrac\pi2.
Como \sqrt{2}\,\pi não é múltiplo de \pi, tem \sin(\sqrt{2}\,\pi)\neq0, daí
D = -\frac{\pi}{2\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}.

Resposta

A solução única do problema de contorno é
\boxed{ y(x) = -\frac{\pi}{2\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}\, \sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) \;+\;\frac{x}{2}. }

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