Questão 8. (Série de Maclaurin) Para f(x)=\ln (1+x) :
(a) Escreva a série de Maclaurin até o termo de ordem x^{5} e indique o raio/intervalo de convergência.
(b) Use a série para aproximar \ln \left(\frac{3}{2}\right) de modo que o erro absoluto seja <10^{-4}. Justifique a escolha do número de termos.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a função
f(x)=\ln(1+x)
e queremos (a) escrever sua série de Maclaurin até o termo de ordem x^5 e indicar o raio/intervalo de convergência; (b) usar essa série para aproximar \ln\!\bigl(\tfrac32\bigr)=\ln(1+\tfrac12) com erro absoluto menor que 10^{-4}, justificando quantos termos são necessários.
Passo 2
Para encontrar a série de Maclaurin de f(x)=\ln(1+x), lembramos que
Para convergência, precisamos de |x|<1, ou seja, R=1.
Na fronteira, em x=1 a série alternada converge (condicionalmente) a \ln2, mas em x=-1 diverge. Assim o intervalo de convergência é
-1<x\le1.
Passo 4
Para aproximar \ln\bigl(1+\tfrac12\bigr) com erro absoluto <10^{-4}, usamos o critério de resto da série alternada:
Testando valores de N:
para N=8 obtemos \tfrac{(1/2)^9}{9}\approx2{,}17\times10^{-4}, ainda maior que 10^{-4};
para N=9 obtemos \tfrac{(1/2)^{10}}{10}= \tfrac{1}{1024\cdot10}\approx9{,}76\times10^{-5}<10^{-4}.
Logo, precisamos de pelo menos N=9 termos.