Nos problemas de 1 a 8, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
y^{\prime \prime}+y=0, y(0)=0, y^{\prime}(\pi)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
y'' + y = 0,\quad y(0)=0,\quad y'(\pi)=1,
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com condições de contorno. Vamos encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes usando as condições dadas.

Passo 2

Para y''+y=0 escrevemos a equação característica
r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i.
Isso implica que a solução geral é
y(x) = A\cos x + B\sin x.

Passo 3

Aplicando a condição y(0)=0, temos
y(0) = A\cos0 + B\sin0 = A = 0.
Logo a solução se reduz a
y(x) = B\sin x.

Passo 4

Calculamos a derivada
y'(x) = B\cos x,
e impomos y'(\pi)=1:
y'(\pi) = B\cos\pi = -B = 1 \implies B = -1.
Portanto
y(x) = -\sin x.

Resposta

A única solução do problema de contorno é
y(x) = -\sin x.

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