Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
Suponha que (x1, x2)+(y1, y2) seja definido como (x1+y2, x2+y1). Com a multiplicação usual c x=(c x1, c x2), quais das oito propriedades não são satisfeitas?

Passo 1

Resumindo: estamos no conjunto dos pares (x1,x2) com a operação
(x1,x2)+(y1,y2) = (x1+y2,,x2+y1)
e multiplicação escalar usual ccdot(x1,x2)=(c x1,c x2). Queremos verificar quais dos axiomas (i)–(viii) de espaço vetorial não valem.

Passo 2

Verificamos a comutatividade da adição, axioma (i). Dados (x1,x2) e (y1,y2),
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,,x2+y1),
enquanto
(y1,y2)+(x1,x2)=(y1+x2,,y2+x1)
Estas duas expressões não coincidem em geral, logo (i) falha.

Passo 3

Verificamos a associatividade da adição, axioma (ii). Se (z1,z2) é outro vetor,
x+(y+z) =(x1,x2)+(,y1+z2,,y2+z1) =(x1+y2+z1,,x2+y1+z2),
ao passo que
(x+y)+z =(x1+y2,,x2+y1)+(z1,z2) =(x1+y2+z2,,x2+y1+z1)
Como z1 e z2 entram em posições trocadas, (ii) também falha.

Passo 4

Buscamos o elemento neutro 0=(e1,e2) tal que
(x1,x2)+(e1,e2)=(x1,x2). Isso exige
x1+e2=x1, x2+e1=x2 Longrightarrow e1=0,;e2=0,
logo 0=(0,0) existe e é único. O axioma (iii) vale.

Passo 5

Para o inverso aditivo, dado (x1,x2) queremos (y1,y2) com
(x1,x2)+(y1,y2)=(0,0). As equações são
x1+y2=0, x2+y1=0 Longrightarrow y1=-x2,;y2=-x1
Esse inverso existe e é único, então (iv) vale.

Passo 6

Verificamos os axiomas de multiplicação escalar isolados:
1cdot(x1,x2)=(x1,x2),
e
(c1c2),(x1,x2) =(c1c2x1,,c1c2x2) =c1l(c2(x1,x2)r)
Portanto (v) e (vi) valem.

Passo 7

Checamos a distributividade sobre adição de vetores, axioma (vii):
cl((x1,x2)+(y1,y2)r) =c(x1+y2,,x2+y1) =(c x1+c y2,,c x2+c y1),
e
c(x1,x2)+c(y1,y2) =(c x1,c x2)+(c y1,c y2) =(c x1+c y2,,c x2+c y1)
Logo (vii) vale.

Passo 8

Por fim, a distributividade sobre soma de escalares, axioma (viii):
(c1+c2),(x1,x2) =((c1+c2)x1,,(c1+c2)x2),
enquanto
c1(x1,x2)+c2(x1,x2) =(c1x1,c1x2)+(c2x1,c2x2) =(c1x1+c2x2,,c1x2+c2x1)
Essas duas expressões não coincidem em geral, logo (viii) falha.

Resposta

As propriedades que não são satisfeitas são (i), (ii) e (viii).

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