Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum
). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i)
.
(ii)
.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
, tal que
para todo
.
(iv) Para cada
existe um único vetor
tal que
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
.
(viii)
.
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
.
(vii) e (viii) conectam + com
.
Suponha que
seja definido como
. Com a multiplicação usual
, quais das oito propriedades não são satisfeitas?
(i)
(ii)
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
(iv) Para cada
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
(vii) e (viii) conectam + com
Suponha que
Passo 1
Resumindo: estamos no conjunto dos pares
com a operação
e multiplicação escalar usual
. Queremos verificar quais dos axiomas (i)–(viii) de espaço vetorial não valem.
Passo 2
Verificamos a comutatividade da adição, axioma (i). Dados
e
,
enquanto
Estas duas expressões não coincidem em geral, logo (i) falha.
Passo 3
Verificamos a associatividade da adição, axioma (ii). Se
é outro vetor,
ao passo que
Como
e
entram em posições trocadas, (ii) também falha.
Passo 4
Buscamos o elemento neutro
tal que
. Isso exige
logo
existe e é único. O axioma (iii) vale.
Passo 5
Para o inverso aditivo, dado
queremos
com
. As equações são
Esse inverso existe e é único, então (iv) vale.
Passo 6
Verificamos os axiomas de multiplicação escalar isolados:
e
Portanto (v) e (vi) valem.
Passo 7
Checamos a distributividade sobre adição de vetores, axioma (vii):
e
Logo (vii) vale.
Passo 8
Por fim, a distributividade sobre soma de escalares, axioma (viii):
enquanto
Essas duas expressões não coincidem em geral, logo (viii) falha.
Resposta
As propriedades que não são satisfeitas são (i), (ii) e (viii).