Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum
). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i)
.
(ii)
.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
, tal que
para todo
.
(iv) Para cada
existe um único vetor
tal que
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
.
(viii)
.
(a) Quais regras são violadas se mantivermos apenas os números positivos
em
?
(b) Os números positivos com
e
redefinidos para
e
satisfazem as oito regras. Teste a regra 7 quando
e
. Que número age como o vetor nulo?
(i)
(ii)
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
(iv) Para cada
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(a) Quais regras são violadas se mantivermos apenas os números positivos
(b) Os números positivos com
Passo 1
O enunciado trata de verificar quais axiomas de espaço vetorial falham se considerarmos apenas os números positivos em
com a adição e multiplicação por escalar usuais (parte (a)), e depois estudar um “novo” espaço vetorial onde a soma é substituída por produto e a multiplicação por escalar por exponenciação (parte (b)). Vamos usar os oito axiomas clássicos de espaço vetorial para fazer essas checagens.
Passo 2
Para a parte (a), o conjunto é
com as operações usuais.
– Axioma (iii) (existe vetor nulo tal que
): o zero real
não pertence a
, logo não há vetor nulo.
– Axioma (iv) (existe inverso aditivo tal que
): se
então
, logo
. Portanto faltam tanto o vetor nulo quanto inversos aditivos.
– Axioma (iii) (existe vetor nulo
– Axioma (iv) (existe inverso aditivo
Passo 3
Para a parte (b), definimos em
:
– soma:
– multiplicação por escalar: .
Testamos o axioma (vii) com
,
e
.
– soma:
– multiplicação por escalar:
Testamos o axioma (vii)
Como LHS
RHS
, o axioma (vii) vale.
Para achar o vetor nulo neste sistema, resolvemos
, ou seja
para todo
. A única solução é
, então o “zero” deste espaço é
.
Para achar o vetor nulo
Resposta
(a) Violam-se os axiomas (iii) (falta vetor nulo) e (iv) (falta inverso aditivo).
(b) No teste do axioma (vii) obtemos , e o vetor nulo é
.
(b) No teste do axioma (vii) obtemos