Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(a) Quais regras são violadas se mantivermos apenas os números positivos x>0 em R^1 ?
(b) Os números positivos com x+y e c cdot x redefinidos para x y e x^c satisfazem as oito regras. Teste a regra 7 quando c=3, x=2 e y=1. Que número age como o vetor nulo?

Passo 1

O enunciado trata de verificar quais axiomas de espaço vetorial falham se considerarmos apenas os números positivos em R^1 com a adição e multiplicação por escalar usuais (parte (a)), e depois estudar um “novo” espaço vetorial onde a soma é substituída por produto e a multiplicação por escalar por exponenciação (parte (b)). Vamos usar os oito axiomas clássicos de espaço vetorial para fazer essas checagens.

Passo 2

Para a parte (a), o conjunto é xinR:x>0 com as operações usuais.
– Axioma (iii) (existe vetor nulo 0 tal que x+0=x): o zero real ,0 não pertence a x>0, logo não há vetor nulo.
– Axioma (iv) (existe inverso aditivo -x tal que x+(-x)=0): se x>0 então -x<0, logo -xnotinx>0. Portanto faltam tanto o vetor nulo quanto inversos aditivos.

Passo 3

Para a parte (b), definimos em x>0:
– soma: xoplus y = x,y
– multiplicação por escalar: codot x = x^c.
Testamos o axioma (vii) codot(xoplus y) = (codot x)oplus(codot y) com c=3, x=2 e y=1.
LHS = 3odot(2oplus1) = (2cdot1)^3 = 2^3 = 8
RHS = (3odot2)oplus(3odot1) = 2^3 ;oplus;1^3 = 8;oplus;1 = 8cdot1 = 8
Como LHS = RHS =8, o axioma (vii) vale.
Para achar o vetor nulo 0 neste sistema, resolvemos voplus x = x, ou seja vcdot x = x para todo x>0. A única solução é v=1, então o “zero” deste espaço é 1.

Resposta

(a) Violam-se os axiomas (iii) (falta vetor nulo) e (iv) (falta inverso aditivo).
(b) No teste do axioma (vii) obtemos 8=8, e o vetor nulo é 1.

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