Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
As funções f(x)=x^2 e g(x)=5 x são “vetores” em F, o espaço vetorial de todas as funções reais. (As funções são definidas para -infty<x<infty.) A combinação 3 f(x)-4 g(x) é a função h(x)= \qquad .

Passo 1

O enunciado diz que f e g são vetores no espaço vetorial F de todas as funções reais e pede a combinação linear
3,f(x) ;-;4,g(x)
O conteúdo aqui é a definição de combinação linear em espaços vetoriais: para escalares a,b e vetores (funções) f,g,
(a f + b g)(x) = a,f(x) + b,g(x)

Passo 2

Aplicando a definição com a=3 e b=-4, temos
h(x) ;=;(3,f -4,g)(x) =3,f(x)-4,g(x)
Substituindo f(x)=x^2 e g(x)=5x, vem
h(x)=3,(x^2);-;4,(5x) =3x^2-20x

Resposta

h(x)=3x^2-20x

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