Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum
). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i)
.
(ii)
.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
, tal que
para todo
.
(iv) Para cada
existe um único vetor
tal que
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
.
(viii)
.
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
.
(vii) e (viii) conectam + com
.
As funções
e
são “vetores” em
, o espaço vetorial de todas as funções reais. (As funções são definidas para
.) A combinação
é a função
\qquad .
(i)
(ii)
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
(iv) Para cada
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
(vii) e (viii) conectam + com
As funções
Passo 1
O enunciado diz que
e
são vetores no espaço vetorial
de todas as funções reais e pede a combinação linear
O conteúdo aqui é a definição de combinação linear em espaços vetoriais: para escalares
e vetores (funções)
,
Passo 2
Aplicando a definição com
e
, temos
Substituindo
e
, vem