Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum ). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores e a multiplicação por escalar devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) .
(ii) .
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por , tal que para todo .
(iv) Para cada existe um único vetor tal que .
(v) .
(vi) .
(vii) .
(viii) .
(i) a (iv) são propriedades da “adição” .
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” .
(vii) e (viii) conectam + com .
A matriz é um “vetor” no espaço M de todas as matrizes 2 por 2. Escreva o vetor zero neste espaço, o vetor 12 A, e o vetor -A. Quais matrizes estão no menor subespaço contendo A ?
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial M de todas as matrizes 2times2, cujas operações de adição e multiplicação por escalar satisfazem os oito axiomas dados. A matriz
A = 2 & -2 2 & -2
é um vetor em M. Precisamos encontrar:
– o vetor zero em M;
– o vetor tfrac12A;
– o vetor -A;
– o menor subespaço de M que contenha A.
Passo 2
Pelo axioma (iii), o vetor zero 0 satisfaz x + 0 = x para todo x. Em M, é a matriz nula:
0 = 0 & 0 0 & 0
Passo 3
Usando o axioma da multiplicação por escalar, cada entrada de A é multiplicada pelo escalar:
tfrac12A = tfrac122 & -2 2 & -2 = 1 & -1 1 & -1,
-A = (-1)2 & -2 2 & -2 = -2 & 2 -2 & 2
Passo 4
O menor subespaço de M que contém A é justamente o subespaço gerado por A, ou seja, todas as combinações lineares de A por escalares reais. Formalmente: