Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
A matriz A=[ll2 & -2 2 & -2] é um “vetor” no espaço M de todas as matrizes 2 por 2. Escreva o vetor zero neste espaço, o vetor 12 A, e o vetor -A. Quais matrizes estão no menor subespaço contendo A ?

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial M de todas as matrizes 2times2, cujas operações de adição e multiplicação por escalar satisfazem os oito axiomas dados. A matriz
A = 2 & -2 2 & -2
é um vetor em M. Precisamos encontrar:
– o vetor zero em M;
– o vetor tfrac12A;
– o vetor -A;
– o menor subespaço de M que contenha A.

Passo 2

Pelo axioma (iii), o vetor zero 0 satisfaz x + 0 = x para todo x. Em M, é a matriz nula:
0 = 0 & 0 0 & 0

Passo 3

Usando o axioma da multiplicação por escalar, cada entrada de A é multiplicada pelo escalar:
tfrac12A = tfrac122 & -2 2 & -2 = 1 & -1 1 & -1,
-A = (-1)2 & -2 2 & -2 = -2 & 2 -2 & 2

Passo 4

O menor subespaço de M que contém A é justamente o subespaço gerado por A, ou seja, todas as combinações lineares de A por escalares reais. Formalmente:
spanA = lambda A mid lambdainR = 2lambda & -2lambda 2lambda & -2lambda;midd<=|;lambdainR

Resposta

Vetor zero:
0 & 0 0 & 0
Vetor tfrac12A:
1 & -1 1 & -1
Vetor -A:
-2 & 2 -2 & 2
Menor subespaço contendo A:
spanA = lambda A mid lambda in R = 2lambda & -2lambda 2lambda & -2lambdamidlambdainR

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