Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum
). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores
e a multiplicação por escalar
devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i)
.
(ii)
.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
, tal que
para todo
.
(iv) Para cada
existe um único vetor
tal que
.
(v)
.
(vi)
.
(vii)
.
(viii)
.
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
.
(vii) e (viii) conectam + com
.
Qual axioma de espaços vetoriais é violada se multiplicar
por
resulta na função
? Mantenha a adição usual
.
(i)
(ii)
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por
(iv) Para cada
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(i) a (iv) são propriedades da “adição”
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar”
(vii) e (viii) conectam + com
Qual axioma de espaços vetoriais é violada se multiplicar
Passo 1
Resumindo: estamos no espaço vetorial cujos “vetores” são funções
, com adição usual
e com “multiplicação por escalar” definida por
Queremos ver qual axioma da multiplicação escalar falha nessa definição.
Passo 2
Lembrando os axiomas de multiplicação por escalar, dois deles ligam soma de escalares com o produto escalar:
(vii) ,
(viii) .
Já que (v) e (vi) continuam válidos e (vii) também se mantém, testamos (viii).
(vii)
(viii)
Já que (v) e (vi) continuam válidos e (vii) também se mantém, testamos (viii).
Passo 3
Calculemos os dois lados de (viii) agindo sobre um ponto
:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Em geral
então o axioma (viii) falha.
Resposta
O axioma violado é o (viii):