Os problemas 1-8 são sobre espaços vetoriais abstratos (ou seja, gerais). Os vetores nestes espaços não são necessariamente vetores de algum mathbfR^n). Na definição de um espaço vetorial, a adição de vetores x+y e a multiplicação por escalar c x devem obedecer às seguintes oito regras/propriedades/axiomas:
(i) x+y=y+x.
(ii) x+(y+z)=(x+y)+z.
(iii) Existe um único vetor nulo, denotado por 0, tal que x+0=x para todo x.
(iv) Para cada x existe um único vetor -x tal que x+(-x)=0.
(v) 1 cdot x=x.
(vi) (c1 c2) x=c1(c2 x).
(vii) c(x+y)=c x+c y.
(viii) (c1+c2) x=c1 x+c2 x.
(i) a (iv) são propriedades da “adição” x+y.
(v) e (vi) são propriedades da “multiplicação por escalar” c cdot x.
(vii) e (viii) conectam + com cdot.
Qual axioma de espaços vetoriais é violada se multiplicar f(x) por c resulta na função f(c x) ? Mantenha a adição usual f(x)+g(x).

Passo 1

Resumindo: estamos no espaço vetorial cujos “vetores” são funções fcolon RtoR, com adição usual
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
e com “multiplicação por escalar” definida por
(ccdot f)(x)=f(cx)
Queremos ver qual axioma da multiplicação escalar falha nessa definição.

Passo 2

Lembrando os axiomas de multiplicação por escalar, dois deles ligam soma de escalares com o produto escalar:
(vii) ccdot(f+g)=ccdot f + ccdot g,
(viii) (c1+c2)cdot f = c1cdot f + c2cdot f.
Já que (v) e (vi) continuam válidos e (vii) também se mantém, testamos (viii).

Passo 3

Calculemos os dois lados de (viii) agindo sobre um ponto x:
Lado esquerdo:
l((c1+c2)cdot fr)(x) = fl((c1+c2),xr)
Lado direito:
l(c1cdot f + c2cdot fr)(x) =(c1cdot f)(x)+(c2cdot f)(x) = f(c1x)+f(c2x)
Em geral
fl((c1+c2),xr)neq f(c1x)+f(c2x),
então o axioma (viii) falha.

Resposta

O axioma violado é o (viii):
(c1+c2)x=c1x+c2x

Exercícios relacionados