As questões
são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço:
e
(e então todas as combinações lineares
) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Um conjunto de vetores em
para o qual
permanece no conjunto, mas
pode estar fora.
Um conjunto de vetores em
Passo 1
Estamos buscando um exemplo de subconjunto
que seja fechado sob soma de vetores (isto é,
) mas que falhe em ser fechado por multiplicação escalar — em particular queremos um
tal que
. O conteúdo envolvido é justamente as condições de subespaço vetorial: fechamento em adição e em multiplicação por escalares.
Passo 2
Vamos escolher como nosso conjunto
isto é, todos os vetores cujas duas coordenadas são números inteiros. Para ver que
é fechado sob adição, note que se
e
,
então são inteiros, e
então
cujo cada componente é soma de inteiros; logo
.
Passo 3
Agora, para ver que
pode falhar no fechamento por escalares, basta escolher um vetor de
cuja coordenada, ao ser multiplicada por
, deixe de ser inteira. Por exemplo, tome
.
Então
Então
Como
, conclui-se que
.
Resposta
Um exemplo é
Esse conjunto satisfaz fechamento em soma, mas
.