As questões 9-18 são sobre os requisitos para que um subconjunto seja subespaço: x+y e c x (e então todas as combinações lineares c x+d y ) permanecem no subespaço.
Um requisito pode ser atendido enquanto o outro falha. Demonstre isso encontrando:
Um conjunto de vetores em R^2 para o qual x+y permanece no conjunto, mas 12 x pode estar fora.

Passo 1

Estamos buscando um exemplo de subconjunto SsubseteqR^2 que seja fechado sob soma de vetores (isto é, x,yin Simplies x+yin S) mas que falhe em ser fechado por multiplicação escalar — em particular queremos um xin S tal que tfrac12xnotin S. O conteúdo envolvido é justamente as condições de subespaço vetorial: fechamento em adição e em multiplicação por escalares.

Passo 2

Vamos escolher como nosso conjunto
S = (x,y)inR^2 mid xinZ,;yinZ,
isto é, todos os vetores cujas duas coordenadas são números inteiros. Para ver que S é fechado sob adição, note que se
u=(x1,y1)in S e v=(x2,y2)in S,
então x1,x2,y1,y2 são inteiros, e
u+v=(x1+x2,;y1+y2),
cujo cada componente é soma de inteiros; logo u+vin S.

Passo 3

Agora, para ver que S pode falhar no fechamento por escalares, basta escolher um vetor de S cuja coordenada, ao ser multiplicada por tfrac12, deixe de ser inteira. Por exemplo, tome
w=(1,0)in S.
Então
tfrac12,w = l(tfrac12cdot 1,;tfrac12cdot 0r) = l(tfrac12,0r)
Como tfrac12notinZ, conclui-se que tfrac12,wnotin S.

Resposta

Um exemplo é
S = (x,y)inR^2 mid x,yinZ
Esse conjunto satisfaz fechamento em soma, mas tfrac12(1,0)=(tfrac12,0)notin S.

Exercícios relacionados