Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
12 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
12\,\frac{d^{2}y}{d x^{2}} \;-\;5\,\frac{d y}{d x}\;-\;2\,y \;=\;0.
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica, que consiste em assumir uma solução do tipo y=e^{r x} e obter uma equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} na equação diferencial, temos
\frac{d y}{d x}=r\,e^{r x}, \qquad \frac{d^{2}y}{d x^{2}}=r^{2}\,e^{r x}.
Logo, a equação torna-se
12\,r^{2}e^{r x}-5\,r\,e^{r x}-2\,e^{r x}=0
e, dividindo por e^{r x}\neq0, surge a equação característica
12r^{2}-5r-2=0.

Passo 3

Para encontrar as raízes de
12r^{2}-5r-2=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2}-4\cdot12\cdot(-2)}}{2\cdot12} = \frac{5 \pm \sqrt{25+96}}{24} = \frac{5 \pm 11}{24}.
Portanto,
r_{1} = \frac{5+11}{24} = \frac{16}{24} = \tfrac{2}{3}, \qquad r_{2} = \frac{5-11}{24} = -\tfrac{6}{24} = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\,e^{r_{1}x} + C_{2}\,e^{r_{2}x} = C_{1}\,e^{\frac{2}{3}x} + C_{2}\,e^{-\frac{1}{4}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{\tfrac{2}{3}x} \;+\; C_{2}\,e^{-\tfrac{1}{4}x}.

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