Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}-5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3\,\frac{dy}{dx} - 5\,y = 0.
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: supomos uma solução da forma y=e^{r x} e obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y=e^{r x} em
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3\,\frac{dy}{dx} - 5\,y = 0
temos
r^{2}e^{r x} + 3\,r\,e^{r x} - 5\,e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq0, o coeficiente deve anular-se, dando o polinômio característico
r^{2} + 3r - 5 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2} + 3r - 5 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 3^{2} - 4\cdot1\cdot(-5) = 9 + 20 = 29.
Logo, as raízes são
r_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}.

Passo 4

Como as duas raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\,e^{r_{1}x} + C_{2}\,e^{r_{2}x},
onde
r_{1} = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2}, \quad r_{2} = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2},
e C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_{1}\exp\!\biggl(\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}\,x\biggr) + C_{2}\exp\!\biggl(\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}\,x\biggr).

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